Bài tập 10 trang 15 SGK Hình học 12 NC

a)

Lấy hai điểm A và B lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho AB ⊥ (P). Với một điểm M bất kì, ta gọi M₁ là điểm đối xứng với M qua mp(P) và M′ là điểm đối xứng với M₁ qua mp(Q)
Như vậy M′ là ảnh của M qua phép hợp thành của phép đối xứng qua mp(P)và phép đối xứng qua mp(Q).
Gọi H và K lần lượt là trung điểm của MM₁ và M₁M′ thì ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}M'} \\
 = 2\left( {\overrightarrow {H{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}K} } \right) = 2\overrightarrow {HK}  = 2\overrightarrow {AB} 
\end{array}\)

Như vậy phép hợp thành nói trên chính là phép tịnh tiến theo vectơ \(2\overrightarrow {AB} \)

b)

Giả sử (P) ⊥ (Q) và d = (P) ∩ (Q)
Gọi M₁ là điểm đối xứng của M qua (P) và H là trung điêm của MM₁
Gọi M′ là điểm đối xứng của M₁ qua (Q) và K là trung điểm của M₁M′
Gọi O là giao điểm của (MM₁M′) với d
Ta có (MM₁M′) ⊥ (P); (MM₁M′) ⊥ (Q) ⇒ (MM₁M′) ⊥ d
Ta có OHM₁K là hình chữ nhật và 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OM'}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HM}  + \overrightarrow {OK}  + \overrightarrow {KM'} }\\
\begin{array}{l}
 = \left( {\overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {OK} } \right) + \left( {\overrightarrow {{M_1}H}  + \overrightarrow {{M_1}K} } \right)\\
 = \overrightarrow {O{M_1}}  + \overrightarrow {{M_1}O}  = \vec 0
\end{array}
\end{array}\)

Suy ra O là trung điểm của MM′, mặt khác MM′ ⊥ d. Vậy phép hợp thành của phép đối xứng qua mp(P) và phép đối xứng qua mp(Q) với (P) ⊥ (Q) là phép đối xứng qua đường thẳng d.

-- Mod Toán 12 HỌC247