Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 6 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit

Một doanh nghiệp gửi ngân hàng 1 tỉ đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất 6,2%/năm. Giả sử trong suốt n năm (n ∈ ℕ*), doanh nghiệp đó không rút tiền ra và số tiền lãi sau mỗi năm sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Biết rằng lãi suất không thay đổi trong thời gian này. Mối liên hệ giữa số tiền doanh nghiệp đó có được (cả gốc và lãi) với số năm gửi ngân hàng gợi nên hàm số nào trong toán học?

Xét bài toán ở phần mở đầu.

a) Tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau 1 năm, 2 năm, 3 năm;

b) Dự đoán công thức tính số tiền doanh nghiệp đó có được sau n năm.

Cho hai ví dụ về hàm số mũ?

Cho hàm số mũ y = 2^x.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; 2^x) với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = 2^x (Hình 1).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2^x với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = 2^x, nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{2}^x,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{2}^x;$

• Sự biến thiên của hàm số y = 2^x và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Cho hàm số mũ $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x.$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\left(\frac{1}{2}\right)}^x\right)$ với x ∈ ℝ và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ (Hình 2).

c) Cho biết tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ với trục tung và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục hoành.

d) Quan sát đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x,$ nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x,\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x;$

• Sự biến thiên của hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x?$

Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

Cho hai ví dụ về hàm số lôgarit?

Cho hàm số lôgarit y = log₂x.

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; log₂x) với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số y = log₂x (Hình 6).

c) Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = log₂x với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục tung.

d) Quan sát đồ thị hàm số y = log₂x, nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{2}x,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{2}x;$

• Sự biến thiên của hàm số y = log₂x và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Cho hàm số lôgarit $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$

a) Tìm giá trị y tương ứng với giá trị x trong bảng sau:

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a.

Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left(x;{\log }_{\frac{1}{2}}x\right)$ với x ∈ (0; +∞) và nối lại, ta được đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ (Hình 7).

c)Cho biết tọa độ giao điểm đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ với trục hoành và vị trí của đồ thị hàm số đó so với trục tung.

d)Quan sát đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x,$ nêu nhận xét về:

• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}x,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{\frac{1}{2}}x;$

• Sự biến thiên của hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ và lập bảng biến thiên của hàm số đó.

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y={\text{log}}_{\frac{1}{3}}x?$

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y = 12^x;

b) y = log₅(2x – 3);

c) $y={\text{log}}_{\frac{1}{5}}\left(-x^2+4\right)$ .

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao?

a) $y={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^x;$

b) $y={\left(\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right)}^x;$

c) y = log_πx;

d) $y={\text{log}}_{\frac{\sqrt{15}}{4}}x.$

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) y = 4^x;

b) $y={\text{log}}_{\frac{1}{4}}x$ .

Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: f(t) = c(1 – e^–kt), trong đó c là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, k (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, t (ngày) là thời gian học và f(t) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là k = 0,2. Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH = – log[H⁺]. Phân tích nồng độ ion hydrogen [H⁺] trong hai mẫu nước sông, ta có kết quả sau:

Mẫu 1: [H⁺] = 8 . 10^–7; Mẫu 2: [H⁺] = 2 . 10^–9.

Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ pH của hai mẫu nước trên.

Cô Yên gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6% /năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Yên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau y (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là x (đồng), cô Yên sử dụng công thức $y={\text{log}}_{\mathrm{1,06}}\left(\frac{x}{10}\right)$ . Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì cô Yên có thể rút ra số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiện đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tập xác định của hàm số \(y = 0,{2^{x - 1}}\) là:

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

B. \(\mathbb{R}.\)

C. \(\left( {1; + \infty } \right).\)

D. \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {2x + 1} \right)\) là:

A. \(\mathbb{R}.\)

B. \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right).\)

C. \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}.\)

D. \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right).\)

Tập xác định của hàm số \(y = {\log _5}\left( {{x^2}} \right)\) là:

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)

B. \(\mathbb{R}.\)

C. \(\left( {0; + \infty } \right).\)

D. \(\left[ {0; + \infty } \right).\)

Trong các hàm số sau, hàm số có tập xác định \(\mathbb{R}\) là:

A. \(y = {\log _5}x.\)

B. \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}.\)

C. \(y = \ln \left( {{x^2} - 1} \right).\)

D. \(y = {2^{\frac{1}{x}}}.\)

Trong các hàm số sau, hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó là:

A. \(y = {e^x}.\)

B. \(y = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}.\)

C. \(y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}.\)

D. \(y = {\left( {1,2} \right)^x}.\)

Trong các hàm số sau, hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là:

A. \(y = {\log _{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}x.\)

B. \(y = {\log _{0,5}}x.\)

C. \(y = - \log x.\)

D. \(y = \ln x.\)

Giá trị thực của tham số \(a\) để hàm số \(y = {\log _{2a + 3}}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) là:

A. \(a > 1.\)

B. \(a > - 1.\)

C. \(a > 0,a \ne 1.\)

D. \(a > - 1,a \ne 1.\)

Cho \({a^{\frac{7}{3}}} < {a^{\frac{7}{8}}}\) và \({\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right) < {\log _b}\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right).\) Kết luận nào sau đây đúng?

A. \(a > 1\) và \(b > 1.\)

B. \(0 < a < 1\) và \(0 < b < 1.\)

C. \(0 < a < 1\) và \(b > 1.\)

D. \(a > 1\) và \(0 < b < 1.\)

Đường nào sau đây là đồ thị hàm số \(y = {4^x}?\)

A.

B.

C.

D.

Cho ba số thực dương \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) khác 1 và đồ thị của ba hàm số loogarit \(y = {\log _a}x,\)\(y = {\log _b}x\) và \(y = {\log _c}x\) được cho bởi Hình 4. Kết luận nào sau đây là đúng đối với ba số\(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c?\)

A. \(c > b > a.\)

B. \(a > b > c.\)

C. \(b > a > c.\)

D. \(c > a > b.\)

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) \(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x};\)

b) \(y = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^x};\)

c) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x;\)

d) \(y = - {\log _2}x.\)

Dựa vào đồ thị hàm số, cho biết với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số \(y = {\left( {0,5} \right)^x}:\)

a) Nằm ở phía trên đường thẳng \(y = 1;\)

b) Nằm ở phía trên đường thẳng \(y = 4;\)

a) Nằm ở phía dưới đường thẳng \(y = \frac{1}{2}.\)

Dựa vào đồ thị hàm số, cho biết với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số \(y = {\log _3}x:\)

a) Nằm ở phía trên đường thẳng \(y = 1;\)

b) Nằm ở phía dưới trục hoành.

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2x - 5}};\)

b) \(y = {3^{\frac{{x - 1}}{{x + 1}}}};\)

c) \(y = 1,{5^{\sqrt {x + 2} }};\)

d) \(y = {\log _5}\left( {1 - 5x} \right);\)

e) \(y = {\rm{log}}\left( {4{x^2} - 9} \right);\)

g) \(y = \ln \left( {{x^2} - 4x + 4} \right).\)

Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số \(y = {\log _3}\left( {4{x^2} - 4x + m} \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\)?

Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số \(y = {\log _{{a^2} - 2a + 1}}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}}.\)

a) Với \(a,{\rm{ }}b\) là hai số thực thỏa mãn \(a + b = 1.\) Tính \(f\left( a \right) + f\left( b \right).\)

b) Tính tổng: \(S = f\left( {\frac{1}{{2023}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2023}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{2022}}{{2023}}} \right).\)

Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của \({}_6^{14}C\) là 5730 năm, tức là sau 5730 năm thì số nguyên tử \({}_6^{14}C\) giảm đi một nửa.

a) Gọi \({m_0}\) là khối lượng của \({}_6^{14}C\) tại thời điểm \(t = 0\). Viết công thức tính khối lượng \(m\left( t \right)\) của \({}_6^{14}C\) tại thời điểm t (năm).

b) Một cây còn sống có lượng \({}_6^{14}C\) trong cây được duy trì không đổi. Nhưng nếu cây chết thì lượng \({}_6^{14}C\) trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu gỗ cổ được xác định chết cách đây 2000 năm. Tính tỉ lệ phần trăm lượng \({}_6^{14}C\) còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trưởng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Mức cường độ âm L (dB) được tính bởi công thức \(L = 10{\rm{log}}\frac{I}{{{{10}^{ - 12}}}},\) trong đó \(I\left( {{\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\) là cường độ âm. Tai người có thể nghe được âm có cường độ âm từ \({10^{ - 12}}\left( {{\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)đến 10 \({\rm{W/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\) Tính mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được?