Đạo hàm là khái niệm quan trọng bậc nhất của Giải tích học, nó xuất hiện trong hầu hết các dạng toán ở phân môn Giải tích trong chương trình phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống. Dưới đây là nội dung bài học Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm môn Toán 11 Sách Kết Nối Tri Thức do HOC247 biên soạn, bài học này sẽ bước đầu giúp các em tìm hiểu về khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm cùng với các dạng toán tính đạo hàm bằng cách sử dụng định nghĩa.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng
Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).
.PNG)
Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t được tính bởi công thức sau
b) Cường độ tức thời
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t).
Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ to đến t được tính bởi công thức sau
\[{I_{tt}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}\]
Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học,... đưa đến việc tìm giới hạn dạng
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\]
ở đó y = f(x) là một hàm số đã cho.
1.2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
|
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm \(x_0\in\) (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\] thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0, kí hiệu bởi f'(x0) (hoặc y'(x0)), tức là \[f'(x_0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}.\] |
Chú ý: Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm \(x_0\in\) (a; b), ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tính f(x)−f(x0).
2. Lập và rút gọn tỉ số \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) với \(x\in\) (a; b) và \(x\ne x_0\).
3. Tìm giới hạn làm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
1.3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f'(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu y' = f'(x).
Chú ý: Nếu phương trình chuyển động của vật là s =f(t) thì v(t) = f'(t) là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.
1.4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm P( xo; f ( xo )) là đường thẳng đi qua P với hệ số góc k =\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là k = f'(xo).
Điểm P gọi là tiếp điểm.
Nhận xét: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm P(xo; f(xo)) là đạo hàm f'(xo).
b) Phương trình tiếp tuyến
|
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P(xo,yo) là y - yo = f' (xo)( x − xo ), trong đó yo = f(xo) |
Bài tập minh họa
Câu 1:
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\) tại \(x_0=-1.\)
b) \(f(x)=sinx\) tại \(x_0=\frac{\pi}{6}.\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}.\)
Hướng dẫn giải:
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\)
\(\Delta x = x + 1 \Rightarrow x = - 1 + \Delta x\) và \(\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1) = 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\)
Vậy: \(f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x - 1} \right) = - 1.\)
b) \(f(x)=sinx\)
\(\Delta x = x - \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} + \Delta x\)
\(\Delta y = f\left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)\)
\(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right).1 = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}. \end{array}\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} } \right).\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} }}. \end{array}\)
Câu 2:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1;2).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y=x^2-2x+3\) biết:
i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x-2y+5=0.\)
ii) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+4y=0.\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l} f'({x_0}) = f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^2} - 4x + 4) = 9. \end{array}\)
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;-2) là k=f'(-1)=9.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;2) là: \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7.\)
b) Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số \(y=x^2-2x+3\):
\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left[ {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 2(x + \Delta x) + 3} \right] - \left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]}}{{\Delta x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2x + \Delta x} \right).\Delta x - 2.\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x - 2} \right) = 2x - 2.\)
i) Đường thẳng \(4x - 2y + 5 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + \frac{5}{2}\) có hệ số góc k'=2.
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x-2y+5=0 nên có hệ số góc k=2.
Ta có: \(f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = f(2) = 3.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 2(x - 2) + 3 \Rightarrow y = 2x - 1.\)
ii) Đường thẳng \(x + 4y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{4}x\) có hệ số góc \(k'=-\frac{1}{4}.\)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+4y=0 nên: \(k.k' = - 1 \Rightarrow k = 4.\)
Ta có: \(f'({x_0}) = 4 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = f(3) = 6.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 4(x - 3) + 6 \Rightarrow y = 4x - 6.\)
Luyện tập Bài 31 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận biết một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm, định nghĩa đạo hàm. Tính đạo hàm của một số hàm đơn giản bằng định nghĩa.
- Nhận biết ý nghĩa hình học của đạo hàm. Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị.
- Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn.
3.1. Trắc nghiệm Bài 31 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức Chương 9 Bài 31 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
- B. \(f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
- C. \(f'(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
- D. \(f'(x_0)=\mathop {\lim }\limits_{x \to {+\infty}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)
-
- A. nó không có đạo hàm f'(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó.
- B. nó không có đạo hàm f'(x) tại một điểm x nào đó thuộc khoảng đó.
- C. nó có đạo hàm f'(x) tại một điểm x nào đó thuộc khoảng đó.
- D. nó có đạo hàm f'(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó.
-
- A. 1/4
- B. 1/16
- C. 1/32
- D. Không tồn tại
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 31 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Chương 9 Bài 31 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 81 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 82 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 83 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 3 trang 83 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 84 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 4 trang 84 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 3 trang 85 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 5 trang 85 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 4 trang 85 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng trang 85 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 9.1 trang 86 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 9.2 trang 86 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 9.3 trang 86 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 9.4 trang 86 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải Bài 9.5 trang 86 SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Bài tập 9.1 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 9.2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 9.3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 9.4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 9.5 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 9.6 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Bài tập 9.7 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2 Kết nối tri thức - KNTT
Hỏi đáp Bài 31 Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
