Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Cho khoảng K chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\setminus \{x_0\}\).  Hàm số \(f(x)\) có giới hạn là số L khi x dần tới \(x_0\) nếu với dãy số (\(x_n\) bất kì, \(x_n\in K\setminus \{x_0\}\) và \(x_n \to x_0\), thì \(f(x_n) \to L\).  Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = L\) hay  \(f(x) \to L\) khi \(x \to x_0\).

 

Nhận xét: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }x ={x_0}\); \(\lim \limits_{x \to {x_0} }c ={c}\) (c là hằng số)

 

Ta thừa nhận định lí sau:

- Nếu \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=M(L,M\in R)\) thì  + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } [f(x) + g(x)] = L + M\)          + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } [f(x) - g(x)] = L - M\)  + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } [f(x).g(x)] = L.M\)                      + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } \frac{{{f(x)}}}{{{g(x)}}} = \frac{L}{M}{\rm{ (}}M \ne 0)\)  - Nếu \({f(x)} \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } ​ {f(x)} = L\) thì \(L\ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{x}_{0}} } \sqrt {{f​(x)}} = \sqrt L\)

 

- Cho hàm số \(y = f(x)\)  xác định trên \((a;{x_0})\).  Số \(L\) gọi là giới hạn bên trái của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì, \(a < {x_n} < {x_0} \) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\).  Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to x_0^ - } f(x) = L\).  - Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(({x_0};b)\).  Số \(L\) gọi là giới hạn bên phải của hàm số \(y = f(x)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) thì ta có: \(f({x_n}) \to L\).  Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to x_0^ + } f(x) = L\).

 

Chú ý: \(\lim \limits_{x \to {x_0} }f(x) = L\) khi và chỉ khi  \(\lim \limits_{x \to {x_0^-} }f(x) = \lim \limits_{x \to {x_0^+} }f(x) = L\).\

 

- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +\infty)\).  Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to +\infty\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n>a\)  và \(x_n \to +\infty\), ta có \(f(x) \to L\).  Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to +\infty }f(x) = L\) hay  \(f(x) \to L\) khi \(x \to +\infty\).  - Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-\infty; a)\).  Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi \(x \to -\infty\) nếu với dãy số (\(x_n\)) bất kì, \(x_n < a\) và \(x_n \to -\infty\), ta có \(f(x) \to L\).  Kí hiệu: \(\lim \limits_{x \to -\infty }f(x) = L\) hay  \(f(x) \to L\) khi \(x \to -\infty\).

 

Chú ý:

- Với c, k là hằng số và k là số nguyên dương, ta luôn có:

  + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty }  c = c\)

  + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty }  \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).

- Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số \(x \to {x_0}\) vẫn đúng khi \(x \to +\infty \) hoặc \(x \to -\infty \).

- Cho hàm số \(y = f(x)\)  xác định trên \((a; {x_0})\).  Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là \(+\infty\) khi \(x \to a^+\) nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to a\).  Ta có: \(f({x_n}) \to +\infty\).  Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a^ + } f(x) = +\infty\) hay \(f({x_n}) \to +\infty\) khi \(x \to a^+\).  - Các trường hợp \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a^ + } f(x) = -\infty\);  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a^ - } f(x) = +\infty\);  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a^ - } f(x) = -\infty\) được định nghĩa tương tự.

 

Chú ý: Ta có hai giới hạn cơ bản sau:

  + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} =  - \infty \) \(a\in R\).

 

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là +∞ khi \(x \to +\infty\) nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → +∞. Kí hiệu  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = +\infty\) hay f(x) →+∞ khi x → +∞.  - Các trường hợp \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = -\infty\);  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } f(x) = +\infty\);  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\)  được định nghĩa tương tự.

 

Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau:

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k là số nguyên dương.

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ k là số nguyên dương chẵn.

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=-\infty$ k là số nguyên dương lẻ.

Tính giới hạn của các hàm số sau?

a) \(\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+3x+7)\).

b) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{x-1}\).

 

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+3x+7)\)\(= {{(-2)}^{2}}+3(-2)+7=5\).

b) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{x-1}\)\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3+\frac{2}{x}}{1-\frac{1}{x}}\)\(=\frac{3+0}{1-0}=3\)

Học xong bài học này, em có thể:

- Nhận biết khái niệm giới hạn hữu hạn, giới hạn một phía của hàm số tại một điểm, tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm thông qua xét một số giới hạn cơ bản.

- Tính giới hạn của hàm số bằng cách dùng những giới hạn cơ bản và các phép toán trên giới hạn hàm số.

- Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với giới hạn hàm số.

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 2 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào bên dưới là mệnh đề sai?

  • A. \(\lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0\) với k là số nguyên dương.
  • B. Nếu \(\left| q \right|<1\) thì \(\lim {{q}^{n}}=0\).
  • C. Nếu \(\lim {{u}_{n}}=a\) và \(\lim {{v}_{n}}=b\) thì \(\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\frac{a}{b}\). 
  • D. Nếu \(\lim {{u}_{n}}=a\) và \(\lim {{v}_{n}}=+\infty \) thì \(\lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=0\).

• Câu 2:

  Trong các giới hạn dãy số bên dưới đây, giới hạn có kết quả đúng là?

  • A. \(\lim \,\left( -3{{n}^{4}}+3 \right)=-\infty \).  
  • B. \(\lim \,\left( -3{{n}^{4}}+3 \right)=0\).
  • C. \(\lim \,\left( -{{n}^{4}}+2 \right)=+\infty \).
  • D. \(\lim \,\left( 5{{n}^{4}}-2 \right)=-\infty \).

• Câu 3:

  Kết quả của giới hạn sau \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}+5x-3}{{{x}^{2}}+6x+3}\) bằng?

  • A. \(2\).
  • B. \(3\).
  • C. \(-2\).
  • D. \(+\infty \).

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 2 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Khởi động trang 65 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 1 trang 65 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 67 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 67 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 68 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 69 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 70 Luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 70 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 5 trang 71 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Hoạt động 6 trang 71 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Luyện tập 6 trang 72 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 1 trang 72 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 2 trang 72 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 3 trang 72 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 4 trang 72 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 5 trang 72 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài 6 trang 72 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

Bài tập 12 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 13 trang 74 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 14 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 15 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 16 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 17 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 18 trang 75 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 19 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 20 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 21 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 22 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 23 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 24 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Bài tập 25 trang 76 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!