Trong nội dung Bài 1: Giới hạn của dãy số, chúng ta sẽ khám phá những khái niệm cơ bản như giới hạn hữu hạn, giới hạn vô hạn, giới hạn dương vô cùng và giới hạn âm vô cùng của chương trình Toán 11 Cánh Diều. Đây là các kiến thức quan trọng để các em áp dụng giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao có liên quan đến giới hạn của dãy số. Hoc247 chúc các em học tập thật tốt!
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
a. Định nghĩa
|
- Dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\) - Dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({u_n -a}) =0\) Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) |
Nhận xét: Nếu un càng ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì lim un = 0.
Chú ý:
- Ngoài kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\)
- Ngoài kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) ta cũng sử dụng kí hiệu: lim un = a hay un → a khi n → +∞.
b. Một số giới hạn cơ bản
Ta chứng tỏ được các giới hạn sau:
- ; với k là số nguyên dương cho trước;
- ; với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước;
- Nếu |q| < 1 thì lim qn = 0;
- Dãy số (un) với \({{u}_{n}}={{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\) có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e.
Ta có: \(e=\lim {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\) với \(e\approx 2,718281828459045\).
1.2. Định lí về giới hạn hữu hạn
|
- Nếu lim un = a, lim vn = b thì: \(\begin{align} & \begin{array}{*{35}{l}} \lim \left( {{u}_{n}}+{{v}_{n}} \right)=a+b; \\ \lim \left( {{u}_{n}}-{{v}_{n}} \right)=a-b; \\ \lim \left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)=a.b; \\ \end{array} \\ & \lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\frac{a}{b}({{v}_{n}}\ne 0,b\ne 0). \\ \end{align}\) - Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a ≥ 0 và \(\lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a}\) |
1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
|
- Cấp số nhân vô hạn u1, u1q, …., u1qn – 1, … có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là: \(S={{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}+...=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\) |
1.4. Giới hạn vô cực
|
- Ta nói dãy số (un) có giới hạn + ∞ khi \(n \to +\infty\), nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = +\infty\) hay \(limu_n = +\infty\) hay \(u_n \to +\infty\) khi \(n \to +\infty\). - Ta nói dãy số (un) có giới hạn - ∞ khi \(n \to +\infty\), nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {-u_n} = +\infty\) Kí hiệu: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = -\infty\) hay \(limu_n = -\infty\) hay \(u_n \to -\infty\) khi \(n \to -\infty\). |
Nhận xét:
- lim nk = + ∞ với k là số nguyên dương cho trước.
- lim qn = + ∞ với q > 1 là số thực cho trước.
- Nếu lim un = a và lim |vn| = + ∞ thì .
- Nếu lim un = a, a > 0 và lim vn = 0, vn > 0 với mọi n thì .
- lim un = +∞ ⇔ lim (– un) = – ∞.
Bài tập minh họa
Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\lim \frac{3}{5n-2}=\lim \frac{\frac{3}{n}}{5-\frac{2}{n}}=\frac{\lim \frac{3}{n}}{\lim \left( 5-\frac{2}{n} \right)}=\frac{0}{5}=0\)
Vậy .
b) Ta có: \(\lim \frac{-4n+6}{2n}=\lim \left( -2+\frac{3}{n} \right)=\lim (-2)+\lim \frac{3}{n}=-2+0=-2\)
Vậy .
c) Ta có: \(\lim \frac{{{4}^{n}}+{{6.2}^{n}}}{{{3.4}^{n}}}=\lim \left[ \frac{1}{3}+2.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}} \right]=\lim \frac{1}{3}+\lim \left[ 2.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}} \right]=\frac{1}{3}+2.0=\frac{1}{3}\)
Vậy .
d) Ta có: \(\lim \frac{5+\frac{-3}{{{n}^{2}}}}{{{4}^{n}}}=\frac{\lim \left( 5+\frac{-3}{{{n}^{2}}} \right)}{\lim {{4}^{n}}}=0\)
Vậy .
Luyện tập Bài 1 Chương 3 Toán 11 Cánh Diều
Học xong bài học này, em có thể:
- Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số.
- Vận dụng các giới hạn cơ bản và các phép toán giới hạn để tìm giới hạn một số dãy số đơn giản.
- Tính được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng vào giải quyết những vấn đề trong toán học và cuộc sống.
3.1. Trắc nghiệm Bài 1 Chương 3 Toán 11 Cánh Diều
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 1 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
-
- A. \(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} - 4}}\)
- B. \(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}}\)
- C. \(\lim \frac{{2{n^2} - 3}}{{ - 2{n^3} + 2{n^2}}}\)
- D. \(\lim \frac{{2{n^3} - 3}}{{ - 2{n^2} - 1}}\)
-
- A. \(\lim \frac{{2{n^2} + 3}}{{{n^3} + 4}}\)
- B. \(\lim \frac{{2n - 3{n^3}}}{{2{n^2} - 1}}\)
- C. \(\lim \frac{{2{n^2} - 3{n^4}}}{{ - 2{n^3} + 2{n^2}}}\)
- D. \(\lim \frac{{3 - 2{n^3}}}{{2{n^2} - 1}}\)
-
- A. \({u_n} = \frac{{{n^2} - 2n}}{{5n + 5{n^2}}}\)
- B. \({u_n} = \frac{{1 + 2n}}{{5n + 5}}\)
- C. \({u_n} = \frac{{1 + {n^2}}}{{5n + 5}}\)
- D. \({u_n} = \frac{{{n^2} - 2}}{{5n + 5{n^3}}}\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức về bài học này nhé!
3.2. Bài tập SGK Bài 1 Chương 3 Toán 11 Cánh Diều
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Cánh Diều Chương 3 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Khởi động trang 59 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Hoạt động 1 trang 59 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 1 trang 60 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Hoạt động 2 trang 60 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 2 trang 61 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 3 trang 62 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Hoạt động 3 trang 62 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 4 trang 62 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Hoạt động 4 trang 63 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 5 trang 63 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 6 trang 63 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Hoạt động 5 trang 63 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 7 trang 64 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Luyện tập 8 trang 64 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 1 trang 64 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 2 trang 65 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 3 trang 65 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 4 trang 65 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 5 trang 65 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài 6 trang 65 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD
Bài tập 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều
Bài tập 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 9 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 10 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Bài tập 11 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1 Cánh diều - CD
Hỏi đáp Bài 1 Chương 3 Toán 11 Cánh Diều
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán học HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
