Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Cho vectơ $\overrightarrow a$. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow a  + \overrightarrow a ,\left( { - \overrightarrow a } \right) + \left( { - \overrightarrow a } \right)$: (Hình 1)

Cho hai vectơ cho hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ và điểm M như hình 3.

a) Hãy vẽ vectơ $\overrightarrow {MN}  = 3\overrightarrow a ,\overrightarrow {MP}  =  - 3\overrightarrow b$

b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: $\left| {3\overrightarrow b } \right|,\left| { - 3\overrightarrow b } \right|,\left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right|$.

Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}$

Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow b$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow a$ của tòa A.

Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương khác $\overrightarrow 0$ và cho $\overrightarrow c  = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}.\overrightarrow b$. So sánh độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow c$

Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0$. Chứng minh ba điểm I, G, J  thẳng hàng

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MO}$

b) $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AC}$

Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng

a)  $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {MN}$

b)  $\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}$

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\overrightarrow {MA}  + 4\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0$

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MG}$

Máy bay A  đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow b$của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow a$ của máy bay A

Cho 2 điểm phân biệt A và B

a) Xác định điểm O sao cho $\overrightarrow {OA}  + 3\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow 0$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  = 4\overrightarrow {MO}$

Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\overrightarrow {MB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN}  = 3\overrightarrow {NB} ,\overrightarrow {CP}  = \overrightarrow {PA}$

b) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA}$

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm của tam giác ABD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG}$

Gọi AM  là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:

a) $2\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0$

b)  $2\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OD}$        với O là điểm tùy ý

Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI}$

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}$

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  = \overrightarrow 0$.

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Máy bay A bay với vận tốc $\overrightarrow a$, máy bay B bay cùng hướng có vận tốc chỉ bằng một nửa máy A. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow b$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow a$của máy bay A.