Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0˚ đến 180˚

a) Nêu nhận xét về vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

\(\begin{array}{l}\alpha  = {90^o};\\\alpha  < {90^o};\\\alpha  > {90^o}.\end{array}\)

b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\), nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha ,\;\sin \alpha \) với hoành độ và tung độ của điểm M.

Tìm các giá trị lượng giác của góc \({120^o}\) (H.3.4)

Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa \(\sin \alpha \) và \(\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\), giữa \(\cos \alpha \) và  \(\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\).

Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \) (\(\widehat {xOM} = \alpha ,\;\;\widehat {xON} = {90^o} - \alpha \)). Chứng mình rằng \(\Delta MOP = \Delta NOQ\). Từ đó nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha \) và \(\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right)\).

Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\left( {2\sin {{30}^o} + \cos {{135}^o} - 3\tan {{150}^o}} \right).\left( {\cos {{180}^o} - \cot {{60}^o}} \right)\)

b) \({\sin ^2}{90^o} + {\cos ^2}{120^o} + {\cos ^2}{0^o} - {\tan ^2}60 + {\cot ^2}{135^o}\)

c) \(\cos {60^o}.\sin {30^o} + {\cos ^2}{30^o}\)

Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(\sin {100^o} + \sin {80^o} + \cos {16^o} + \cos {164^o};\)

b) \(2\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\cot \alpha  - \cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right).\tan \alpha .\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right)\) với \({0^o} < \alpha  < {90^o}\).

Chứng minh các hệ thức sau:

a) \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

b) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\quad (\alpha  \ne {90^o})\)

c) \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha  < {180^o})\)

Cho góc \(\alpha \;\;({0^o} < \alpha  < {180^o})\) thỏa mãn \(\tan \alpha  = 3\)

Tính giá trị biểu thức: \(P = \frac{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha  + 2\cos \alpha }}\)

Tính giá trị của các biểu thức:

a) \(A = \sin {45^ \circ } + 2\sin {60^ \circ } + \tan {120^ \circ } + \cos {135^ \circ }.\)

b) \(B = \tan {45^ \circ }.\cot {135^ \circ } - \sin {30^ \circ }.\cos {120^ \circ } - \sin {60^ \circ }.\cos {150^ \circ }.\)

c) \(C = {\cos ^2}{5^ \circ } + {\cos ^2}{25^ \circ } + {\cos ^2}{45^ \circ } + {\cos ^2}{65^ \circ } + {\cos ^2}{85^ \circ }.\) \(\)

d) \(D = \frac{{12}}{{1 + {{\tan }^2}{{73}^ \circ }}} - 4\tan {75^ \circ }.\cot {105^ \circ } + 12{\sin ^2}{107^ \circ } - 2\tan {40^ \circ }.\cos {60^ \circ }.\tan {50^ \circ }.\)

e) \(E = 4\tan {32^ \circ }.\cos {60^ \circ }.\cot {148^ \circ } + \frac{{5{{\cot }^2}108}}{{1 + {{\tan }^2}{{18}^ \circ }}} + 5{\sin ^2}{72^ \circ }.\)

Cho góc \(\alpha ,\,\,{90^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ }\) thỏa mãn \(\sin \alpha  = \frac{3}{4}.\) Tính giá trị của biểu thức

\(F = \frac{{\tan \alpha  + 2\cot \alpha }}{{\tan \alpha  + \cot \alpha }}.\)

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({0^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ },\,\,\tan \alpha  = 2.\) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(G = 2\sin \alpha  + \cos \alpha .\)

b) \(H = \frac{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}.\)

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({0^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ },\,\,\tan \alpha  = \sqrt 2 .\) Tính giá trị của biểu thức

\(K = \frac{{{{\sin }^3}\alpha  + \sin \alpha .{{\cos }^2}\alpha  + 2{{\sin }^2}\alpha .\cos \alpha  - 4{{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}.\)

Chứng minh rằng:

a) \({\sin ^4}\alpha  + {\cos ^4}\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .\)

b) \({\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  = 1 - 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .\)

c) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + 6{{\cos }^2}\alpha  + 3}  + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha  + 4{{\sin }^2}\alpha }  = 4.\)

Góc nghiêng của mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tai nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoang 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỷ số giữa độ dài cửa thước và độ dài bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm). Tại vị trí có vĩ độ \(\varphi \) và ngày thứ \(N\) trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời \(\alpha \) còn được tính theo công thức sau:

\(\alpha  = {90^ \circ } - \varphi  - \left| {\cos \left( {\left( {\frac{{2\left( {N + 10} \right)}}{{365}} - m} \right){{180}^ \circ }} \right)} \right|.23,{5^ \circ }\)

Trong đó \(m = 0\) nếu \(1 \le N \le 172,\,\,m = 1\) nếu \(173 \le N \le 355,\,\,m = 2\) nếu \(356 \le N \le 365.\)

a) Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ \(\varphi  = {20^ \circ }.\)

b) Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thức) và so sánh hai kết quả thu được.

Chú ý: Công thức tính toán nói trên chính xác tới \( \pm 0,{5^ \circ }.\)

Góc nghiêng của Mặt Trời có ảnh hưởng tới sự hấp thu nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất, chẳng hạn vào mùa hè, góc nghiêng lớn nên nhiệt độ cao.