Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

* Các trường hợp đặc biệt:

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow 0 } \right) = \alpha \) tùy ý, với \({0^ \circ } \le \alpha  \le {180^ \circ }\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {90^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u  \bot \overrightarrow v \) hoặc \(\overrightarrow v  \bot \overrightarrow u \). Đặc biệt: \(\overrightarrow 0  \bot \overrightarrow u \;\;\forall \overrightarrow u \;\)

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {0^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng hướng

+) \(\left( {\;\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {180^ \circ } \Leftrightarrow \overrightarrow u ,\overrightarrow v \) ngược hướng

Chú ý:

- Từ định nghĩa ta có \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right)\)

- Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác \({\overrightarrow 0 }\) luôn bằng 0⁰

- Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác \({\overrightarrow 0 }\) luôn bằng 180⁰,

- Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ \({\overrightarrow a }\) hoặc \({\overrightarrow b }\) là vectơ \({\overrightarrow 0 }\) thì ta quy ước

số đo góc giữa hai vectơ đó là tuỷ ý (từ 0⁰ đến 180⁰)

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có tâm I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm các góc

\(\begin{array}{l}
a)\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {AB} } \right)\\
b)\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {AI} } \right)\\
c)\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {DB} } \right)\\
d)\left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IC} } \right)
\end{array}\)

Giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {DI}  = \overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AB} \), suy ra \(\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \left( {\overrightarrow {DI} ,\overrightarrow {DC} } \right) = \widehat {IDC} = {45^0}\) 

b) Ta có: \(\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {AI} \), suy ra \(\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {AI} } \right) = \left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {IC} } \right) = \widehat {BIC} = {90^0}\)

c) Do hai vecto \(\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {DB} \) cùng hướng nên ta có \(\left( {\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {DB} } \right) = {0^0}\)

d) Do hai vecto \({\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IC} }\) ngược hướng nên ta có \(\left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IC} } \right) = {180^0}\)

Chú ý:

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow u  \bot \;\overrightarrow v \;\;\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow u \;\; = {\overrightarrow u ^2} = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|.\cos {0^ \circ } = {\left| {\overrightarrow u } \right|^2}\)

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC cỏ cạnh bằng 4 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ;\\
b){\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} ;\\
c){\rm{ }}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} 
\end{array}\)

Giải

\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 4.4.cos{60^0} = 16.\frac{1}{2} = 8\\
b){\rm{ }}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 4.4.cos{120^0} = 16.\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 8\\
c){\rm{ }}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left| {\overrightarrow {AH} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.cos{90^0} = 0
\end{array}\)

Nhận xét

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u .\;\left( {\overrightarrow v  - \overrightarrow w \;} \right)\; = \overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; - \overrightarrow u .\;\overrightarrow w \\{\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} + 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2};\;\;{\left( {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right)^2}\;\; = {\overrightarrow u ^2} - 2\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \; + \;{\overrightarrow v ^2}\\\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\left( {\overrightarrow u  - \overrightarrow v } \right) = {\overrightarrow u ^2} - {\overrightarrow v ^2}\end{array}\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC. TÍnh cạnh AB theo hai cạnh còn lại và góc C

Giải

Ta có: \(A{B^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} } \right)^2} = {\overrightarrow {CB} ^2} + {\overrightarrow {CA} ^2} - 2\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA}  = {\overrightarrow {CB} ^2} + {\overrightarrow {CA} ^2} - 2CB.CA.\cos C\)

hay \({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2.b.c.\cos C\)

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng \(\sqrt 2 \).

Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)

Hướng dẫn giải

+) Ta có: \(AB \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overline {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)

Ta có: \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt 2  \Leftrightarrow \sqrt {2A{C^2}}  = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow AC = 1\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1\)

+) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 1.\sqrt 2 .\cos \left( {45^\circ } \right) = 1\)

Câu 2: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có độ dài lần lượt là 3 và 8 có tích vô hướng là \(12\sqrt 2 \).Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

\( \Leftrightarrow 12\sqrt 2  = 3.8.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \)

Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là \(45^\circ \)

Câu 3: Cho hai vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) vuông góc có cùng độ dài bằng 1.

a) Tính \({\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2};{\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right)^2};\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right)\).

b) Cho \(\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j ,\overrightarrow b  = 3\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j \). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) và tính góc \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có hai vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow j \) vuông góc nên \(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0\)

+) \({\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} + 2\overrightarrow i .\overrightarrow j  = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 + 1 = 2\)

+) \({\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} - 2\overrightarrow i .\overrightarrow j  = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 + 1 = 2\)

+) \(\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right) = {\left( {\overrightarrow i } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow j } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1 - 1 = 0\)

b) Sử dụng kết quả của câu a) ta có:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( {2\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j } \right).\left( {3\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j } \right) = 2.3.\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right).\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right) = 6.0 = 0\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \)

Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Biết tính tích vô hướng của hai vectơ, các tính chất của tích vô hướng và biểu thức toạ độ của tích vô hướng.

- Tính được độ dài của vectơ và khoảng cách giữa hai điểm.

- Vận dụng công thức tính vô hướng để tính vào bài tập cụ thể.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 4 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tích vô hướng của hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {12;10} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - 4;5} \right) \) là:

  • A. 1
  • B. 2
  • C. -5
  • D. -7

• Câu 2:

  Tích vô hướng của hai vec tơ \(\overrightarrow a = \left( {7; - 1} \right);\overrightarrow b = \left( {4;5} \right)\) là:

  • A. 15
  • B. 19
  • C. 21
  • D. 23

• Câu 3:

  Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy tính \( {(\vec a + \vec b)^2}\) 

  • A. \( {\left| {\vec a} \right|^2} + {\left| {\vec b} \right|^2} + 2\vec a.\vec b\) 
  • B. \( {\left| {\vec a} \right|^2} - {\left| {\vec b} \right|^2} + 2\vec a.\vec b\) 
  • C. \( {\left| {\vec a} \right|^2} + {\left| {\vec b} \right|^2} - 2\vec a.\vec b\) 
  • D. \( {\left| {\vec a} \right|^2} - {\left| {\vec b} \right|^2} - 2\vec a.\vec b\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 4 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khám phá 1 trang 98 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 1 trang 99 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 98 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 2 trang 100 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 3 trang 100 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Vận dụng 1 trang 100 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 4 trang 101 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Vận dụng 2 trang 101 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 101 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 101 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 101 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 101 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 101 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 101 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 100 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 100 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 101 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!