Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Khái niệm vectơ

Đại lượng vô hướng là đại lượng chỉ có độ lớn. Ví dụ: khôi lượng, khoảng cách, nhiệt độ, ...

Đại lượng có hướng là đại lượng bao gồm cả đô lớn và hướng. Ví du: đô dịch chuyền, lực, vận tốc, gia tộc,

Khi xác định một đại lượng vô hướng, ta chỉ cằn mô tả độ lớn của nó. Ví dụ: Hàng trên tàu có khôi lượng 500 tân.

Khi xác định một đại lượng có hướng, ta phải đề cập đến cả độ lớn và hướng của nó. Ví dụ: Con tàu có độ địch chuyển đài 500 km theo hướng từ A đền B.

* Wectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là \(\overrightarrow {AB} \), đọc là vectơ \(\overrightarrow {AB} \) (Hình sau)

* Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ \(\overrightarrow {AB} \).

* Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ đài của vectơ V và được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ }}} \right|\) Như vậy ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ }}} \right| = AB\).

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow x ,\overrightarrow y \)...

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 (Hình sau). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ đài của các vectơ: \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BH} \) 

Giải

Vectơ \(\overrightarrow {CA}\) có điểm đầu là C, điểm cuôi là A và có giá là đường thẳng AC.

Veclơ \(\overrightarrow {AH}\) có điểm đầulà A, điểm cuối là H và có giá là đường thẳng AH.

Vectơ \(\overrightarrow {BH}\) có điểm đầu là B, điểm cuôi là H và có giá là đường thẳng BH.

Ta có: CA =2, BH = 1, \(AH = \sqrt {A{C^2} - C{H^2}}  = \sqrt {4 - 1}  = \sqrt 3 \) 

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2,\left| {\overrightarrow {BH} } \right| = 1,\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = \sqrt 3 .\) 

Ví dụ:

Ba vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {AB} \) cùng phương.

Trong đó 2 vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD} \) cùng hướng, còn 2 vecto \(\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {AB} \) ngược hướng.

+) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương.

Chú ý: Với mỗi điểm O và vecto \(\overrightarrow a \) cho trước, có duy nhất điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \)

Ví dụ: 

a) Tìm trong hình sau hai cặp vectơ bằng nhau và hai căp vectơ đối nhau.

b) Cho điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm hai vectơ đối nhau.

Giải

Trình hình trên, ta có: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CB} \\
\overrightarrow {AD}  =  - \overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow { - AD} 
\end{array}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  =  - \overrightarrow {OB} \) (Hình sau)

Ví dụ: \(\overrightarrow {AA} ,\;\overrightarrow {EE} ,...\)

* Chú ý:

- Vecto không có độ dài bằng 0.

- Vecto \(\overrightarrow 0 \) cùng phương, cùng hướng với mọi vecto.

- Mọi vecto-không đều bằng nhau: \(\overrightarrow 0  = \overrightarrow {AA}  = \;\overrightarrow {BB}  = ...\)

- Vecto đối của vecto-không là chính nó.

Câu 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\), hai đường chéo cắt nhau tại O. Tìm độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AO} \).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = 1\)

\(OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 1\), \(\left| {\overrightarrow {AO} } \right| = 1\)

Câu 2: Quan sát Hình sau và gọi tên các vectơ:

a) Cùng phương với vectơ \(\overrightarrow x \);

b) Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) ;

Ngược hướng với vectơ  \(\overrightarrow u \).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Giá của vectơ \(\overrightarrow {\rm{w}} \) trùng với giá của \(\overrightarrow x \)

Giá của vectơ \(\overrightarrow y \), \(\overrightarrow z \)song song với giá của \(\overrightarrow x \)

Suy ra các vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow x \) là \(\overrightarrow {\rm{w}} \), \(\overrightarrow y \)và \(\overrightarrow z \)

b) Ta có:

Vectơ \(\overrightarrow b \) có giá song song với vectơ \(\overrightarrow a \)và có cùng hướng từ trên xuống với vectơ \(\overrightarrow a \)nên vectơ \(\overrightarrow b \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \)

c) Ta có:

Vectơ \(\overrightarrow v \) có giá song song với vectơ \(\overrightarrow u \)và ngược hướng từ dưới lên trên so với vectơ \(\overrightarrow u \)nên vectơ \(\overrightarrow v \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow u \)

Câu 3: Cho D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 14).

a) Tìm các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {EF} \).

b) Tìm các vectơ đối vectơ \(\overrightarrow {EC} \)

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có:

\(AF = FB = ED\); \(AE = EC = FD\); \(BD = DC = EF\)

Từ đó dựa vào hình ta có:

a) Các vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {EF} \)là \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {DC} \)

b) Các vectơ đối vectơ \(\overrightarrow {EC} \) là \(\overrightarrow {EA} \) và \(\overrightarrow {DF} \)

Qua bài giảng trên giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Hiểu khái niệm vectơ, vectơ – không, độ dài vectơ, hai vectơ cùng phương, hai vectơ bằng nhau.

- Biết được vectơ không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ.

- Chứng minh được hai vectơ bằng nhau.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {AB} \; = \;\overrightarrow {DC} \). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. ABCD là hình bình hành
  • B. \(\overrightarrow {AD} \; = \;\overrightarrow {CB} \) 
  • C. \(\overrightarrow {AC} \; = \;\overrightarrow {BD} \) 
  • D. ABCD là hình bình hành nếu trong 4 điểm A, B, C, D không có ba điểm nào thẳng hàng 

• Câu 2:

  Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không được lập ra từ 4 điểm đã cho?

  • A. 4
  • B. 6
  • C. 12
  • D. 8

• Câu 3:

  Cho ngũ giác ABCDE. Có bao nhiêu vectơ được lập ra từ các cạnh và đường chéo của ngũ giác?

  • A. 5
  • B. 10
  • C. 15
  • D. 20

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động khám phá 1 trang 81 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 1 trang 82 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 2 trang 82 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 2 trang 83 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 3 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 4 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Hoạt động khám phá 3 trang 84 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 5 trang 85 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Thực hành 6 trang 86 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 86 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 86 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 86 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 86 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 86 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 87 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 7 trang 87 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 1 trang 91 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 2 trang 91 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 3 trang 91 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 4 trang 91 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 5 trang 91 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Giải bài 6 trang 91 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 1 - CTST

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!