Giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

a) Tính $\widehat {IDC}$.

b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C

c) Tìm hai vectơ có điểm đầu là D và lần lượt bằng vectơ $\overrightarrow {IB}$và $\overrightarrow {AB}$

Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc:

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right),\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right),\left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right),\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {BC} } \right),\left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$.

Một người dùng một lực $\overrightarrow F$ có cường độ là 10 N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F$, biết rằng góc giữa vectơ $\overrightarrow F$ và hướng di chuyển là $45^\circ$. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\overrightarrow F$, độ dài quãng đường và côsin các góc giữa vectơ $\overrightarrow F$ và độ dịch chuyển $\overrightarrow d$).

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng $\sqrt 2$.

Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}$

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 có tích vô hướng là $12\sqrt 2$.Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$

Một người dùng một lực $\overrightarrow F$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\overrightarrow F$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F$.

Cho hai vectơ $\overrightarrow i ,\overrightarrow j$ vuông góc có cùng độ dài bằng 1.

a) Tính ${\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)^2};{\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right)^2};\left( {\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right)\left( {\overrightarrow i  - \overrightarrow j } \right)$.

b) Cho $\overrightarrow a  = 2\overrightarrow i  + 2\overrightarrow j ,\overrightarrow b  = 3\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ và tính góc $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Phân tử sulfur dioxide $(S{O_2})$ có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\widehat {OSO}$ gần bằng $120^\circ$. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S và nguyên tử O bằng các vectơ $\overrightarrow {{\mu _1}}$và $\overrightarrow {{\mu _2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng$\overrightarrow \mu   = \overrightarrow {{\mu _1}}  + \overrightarrow {{\mu _2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO2. Tính độ dài của $\overrightarrow \mu$.

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}$

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO}$;

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$.

Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA=a, OB=b. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}$ trong hai trường hợp:

a)  Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2}$

Một người dùng một lực $\overrightarrow F$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực hợp $\overrightarrow F$ với hướng dịch chuyển là một góc $60^\circ$. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow F$

Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 có tích vô hướng là $- 6$. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Cho tam giác vuông cân ABC có $AB = AC = a$.

Tính các tích vô hướng $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}$

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho $AD = 2a,AB = a$. Tính:

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AO}$     

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính $AB = 2R$. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM  và BN cắt nhau tại I như hình 5.

a) Chứng minh: $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA}$

b) Tính $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}$ theo R

Tính công sinh ra bởi một lực $\overrightarrow F$ có độ lớn 60N kéo theo một vật di chuyển một vectơ $\overrightarrow d$ có độ dài 200 m. Cho biết $\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 60^\circ$

Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 6 và 8 và có tích vô hướng là 24. Tính góc giữa hai vectơ đó.