Toán 10 Kết nối tri thức Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Tổng quát ta có

Chú ý: Kí hiệu \(n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)...2.1\) là n! (đọc là n giai thừa), ta có: \({P_n} = n!\). Chẳng hạn \({P_3} = 3! = 3.2.1 = 6\). 

Quy ước 0!= 1.

Ví dụ 1: Từ các chữ số 6, 7, 8 và 9 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?

Giải

Mỗi cách sắp xếp bốn chữ số đã cho để lập thảnh một số có bốn chữ số khác nhau là một hoán vị của bốn chữ số đó.

Vậy số các số có bốn chữ số khác nhau có thể lập được là \({P_4} = 4! = 24.\)

Ví dụ: Một lớp có 30 học sinh, giáo viên cần chọn lằn lượt 4 học sinh trồng bốn cây khác nhau để tham gia lễ phát động Tết trồng cây của trường. Hỏi giáo viên có bao nhiều cách chọn?

Giải

Mỗi cách chọn lần lượt 4 trong 30 học sinh để trồng bồn cây khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 30.

Vậy số cách chọn là \({A_{30}}^4 = 657720\). 

Chú ý

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần từ của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng. 

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần từ đó. Vì vậy \({P_n} = {A_n}^n\). 

Tổng quát ta có:

Chú ý

+ \({C_n}^k = \frac{{{A_n}^k}}{{k!}}\) 

+ Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ: Có 7 bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có 4 người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa?

Giải

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 7 bạn học sinh là một tổ hợp chập 4 của 7.

Vậy số cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa là \({C_7}^4 = \frac{{7!}}{{4!3!}} = 35\). 

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán đếm liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính \({P_n},{A_n}^k,{C_n}^k\) sẽ được dùng rất nhiều. 

Dưới đây ta xét một số vĩ dụ về các bài toán đếm.

Ví dụ: Một lần anh Hưng đến Hà Nội và dự định từ Hà Nội tham quan Đền Hùng, Ninh Bình, Hạ Long, Đường Lâm và Bát Tràng, mỗi ngày đi tham quan một địa điểm rồi lại về Hà Nội

a) Hỏi anh Hưng có thể xếp được bao nhiêu lịch trình đi tham quan tất cả các địa điểm (ở đây lịch trình tính cả thứ tự tham quan).

b) Anh Hưng có việc đột xuất phải vẻ sớm, nên anh chỉ có 3 ngày để đi tham quan 3 địa điểm. Hỏi anh Hưng có bao nhiêu cách xếp lịch trình đi tham quan?

Giải

a) Anh Hưng đi tham quan 5 địa điểm, mối cách xếp lịch trình là một cách chọn có thứ tự của 5 địa điểm trên. Vậy số cách xép lịch trình chính bằng số các hoán vị của 5 địa điểm, và bằng

\({P_5} = 5! = 5.4.3.2.1 = 120\) (cách) 

b) Nếu anh Hưng chỉ có 3 ngày để đi tham quan 3 nơi, thì mối cách xếp lịch trình của anh chính là một cách chọn có thứ tự 3 địa điểm từ 5 địa điểm, tức là một chỉnh hợp chập 3 của 5.

Vây số cách xếp lịch trình đi tham quan trong trường hợp này là

\({A_5}^3 = \frac{{5!}}{{\left( {5 - 2} \right)!}} = \frac{{5!}}{{2!}} = 60\) (cách) 

Ta có thể dùng máy tính cằm tay để tính số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Hoán vị

Để tính n!, ta ấn phim theo trình tự sau:

Án số n, ấn phím  sau đó ấn phím . Khi đó, két quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ. Tính 9!.

Ta ấn liên tiếp các phim như sau: 

Dòng kết quả hiện ra 362 880.

Chỉnh hợp

Để tinh \({A_n}^k\) ta ấn phim theo trình tự sau:

Án số n, ấn phim  ấn số k, sau đó ấn phím . Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ. Tính \({A_{15}}^2\)

Ta ấn các phim theo trình tự sau: 

Dòng kết quả hiện ra 210.

Tổ hợp

Để tính \({C_n}^k\) ta án phím theo trình tự sau:

Ấn số n, ấn phim  ấn số k sau đó ấn phim . Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ. Tỉnh \({C_{20}}^5\) 

Ta ấn các phím theo trình tự sau: 

Dòng kết quả hiện ra 15 504.

Câu 1: Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?

Hướng dẫn giải

Số cách sắp xếp các vận động viện vào các đường chạy là hoán vị của 6 phần tử.

Vậy số cách sắp xếp là: 6! = 720 cách.

Câu 2: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung đủ tiêu chuẩn tham gia cuộc thi hùng biện của trường.

a. Giáo viên cần chọn ra hai bạn phụ trách nhóm trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai bạn từ bốn bạn nêu trên?

b. Có bao nhiêu cách chọn hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trường, một bạn làm nhóm phó?

Hướng dẫn giải

a. Vì hai bạn có vai trò như nhau nên số cách chọn là: 4.3 : 2 = 6 cách.

b. Chọn 2 bạn trong 4 bạn thì theo a số cách chọn là 6 cách.

Sau khi chọn 2 bạn, ta xếp vai trò 1 bạn làm nhóm trưởng, 1 bạn làm nhóm phó thì có 2 cách lựa chọn.

Vậy số cách chọn 2 bạn, trong đó một bạn nhóm trưởng, một bạn nhóm phó là 6.2 = 12 cách.

Câu 3: Một câu lạc bộ có 20 học sinh.

a. Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?

b. Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 phó ban, 4 thành viên khác vào ban quản lí?

Hướng dẫn giải

a. Chọn 6 thành viên từ 20 học sinh là tổ hợp chập 6 của 20 phần tử, số cách chọn là: \(C_{20}^{6}\) = 38760 cách.

b. Theo a, chọn 6 thành viên trong 20 học sinh, số cách là: \(C_{20}^{6}\) = 38760 cách.

Chọn 1 trường ban từ 6 thành viên có: 6 cách.

Chọn 1 phó ban từ 6 thành viên, trừ bỏ thành viên trưởng ban có: 5 cách.

Vậy số cách chọn 1 trường ban, 1 phó ban, 4 thành viên là: 38760.6.5 = 1 162 800 cách.

Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Nắm được các khái niệm về hoán vị, số các hoán vị, chỉnh hợp và số các chỉnh hợp.

- Vận dụng tốt hoán vị, chỉnh hợp vào giải bài tập

- Biết sử dụng máy tính cầm tay để giải toán.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 Bài 24 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Một tổ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh trong tổ thành một hàng dọc?

  • A.

    4!.5!  

  • B. 4!+5!
  • C. 9! 
  • D. A₄⁹.A₅⁹ 

• Câu 2:

  Trong mặt phẳng có 18 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Số tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp các điểm đã cho là:

  • A.

    A₁₈³  

  • B. C₁₈³
  • C. 6    
  • D. \(\frac{{18!}}{3}\) 

• Câu 3:

  Có 5 bì thư khác nhau và có 8 con tem khác nhau. Chọn từ đó ra 3 bì thư và 3 con tem sau đó dán 3 con tem lên 3 bì thư đã chọn. Biết rằng một bì thư chỉ dán 1 con tem. Hỏi có bao nhiêu cách dán? 

  • A. A₅³.A₈³    
  • B. 3!A₅³ A₈³ 
  • C. C₅³.C₈³   
  • D. 3!C₅³.C₈³ 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 Bài 24 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 1 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 2 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 2 trang 68 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Vận dụng trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.6 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.7 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.8 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.9 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.10 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.11 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.5 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.6 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.7 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.8 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.9 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.10 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.11 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.12 trang 55 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!