Toán 10 Kết nối tri thức Bài 25: Nhị thức Newton

Các tích nhận được từ sơ đồ hình cây của một tích các đa thức giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau. Hơn nữa, tổng của chúng cho ta khai triển của tích các đa thức đã cho.

Chẳng hạn, trong sơ đỏ hình cây (H.8.8) của (a + b)(c + d) thì các tích nhận được là a.c, a.d, b.c, b.d cũng chính là các tích nhận được khi ta lấy một hạng tử của nhị thức thứ nhất (là a hoặc b) nhân với một hạng tử của nhị thức thứ hai (là c hoặc d). Ta có

\(\left( {a + b} \right).\left( {c + d} \right) = a.c + a.d + b.c + b.d\)

Ta có công thức sau:

Ví dụ: Khai triển \({\left( {2x + 1} \right)^4}\). 

Giải

Thay a = 2x và b = 1 trong công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^4}\), ta được:

\(\begin{array}{l}
{\left( {2x + 1} \right)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}.1 + 6.{\left( {2x} \right)^2}{.1^2} + 4.\left( {2x} \right){.1^3} + {1^4}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1
\end{array}\)

Ta có công thức sau:

Ví dụ: Khai triển \({\left( {x + 3} \right)^5}\). 

Giải

Thay a = x và b = 3 trong công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\), ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {x + 3} \right)}^5} = {x^5} + 5.{x^4}.3 + 10.{x^3}{{.3}^2} + 10.{x^2}{{.3}^3} + 5.x{{.3}^4} + {3^5}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^5} + 15{x^4} + 90{x^3} + 270{x^2} + 405x + 243.}
\end{array}\) 

Nhận xét: Các công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^n}\) với \(n \in \left\{ {4;5} \right\}\), là một công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần dùng máy tính. 

Câu 1: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (Hình bên dưới) của tích (a +b).(a +b).(a +b)

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a³, a²b, ab², b³?

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)³.

Hướng dẫn giải

​

Có 1 tích bằng a3, có 3 tích bằng a2b, có 3 tích bằng ab2, có 1 tích bằng b3.

Khai triển (a + b)3 = a3+ a2b + ab2 + b3

\(\Rightarrow\) Vậy hệ số của khai triển đúng bằng hệ số các tích nhận được.

Câu 2: Khai triển (3x - 2)⁵

Hướng dẫn giải

(3x - 2)⁵ = (3x)⁵ + 5(3x)⁴.(-2) + 10.(3x)³.(-2)² + 10.(3x)².(-2)³ + 5(3x).(-2)⁴ + (-2)⁵

= 243x⁵ - 810x⁴ + 1080x³ - 720x² + 240x -32.

Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:

- Nắm vững công thức nhị thức Niu-tơn.

- Biết vận dụng công thức nhị thức Niu-tơn để tìm khai triển các đa thức dạng (ax+b)ⁿ; (ax-b)ⁿ.

- Biết thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác Pa-xcan từ hàng thứ n.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 Bài 25 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Khai triển biểu thức \({\left( {x - {m^2}} \right)^4}\) thành tổng các đơn thức:

  • A. \({x^4}\;-{x^3}m + {x^2}{m^2}\; + \;{m^4}\) 
  • B. \({x^4}\;-{x^3}{m^2} + {x^2}{m^4}\;-x{m^6} + \;{m^8}\) 
  • C. \({x^4}\;-4{x^3}m + 6{x^2}{m^2}\;-\;4xm + \;{m^4}\) 
  • D. \({x^4}\;-4{x^3}{m^2} + 6{x^2}{m^4}\;-\;4x{m^6} + \;{m^8}\) 

• Câu 2:

  Tính tổng \(S\; = \;{3^{2015}}.C_{2015}^0 - {3^{2014}}C_{2015}^2 + {3^{2013}}C_{2015}^2 -  \ldots  + 3C_{2015}^{2014}\; - C_{2015}^{2015}\)

  • A. \({2^{2015}}\)
  • B. \( - {2^{2015}}\) 
  • C. \({3^{2015}}\) 
  • D. \({4^{2015}}\) 

• Câu 3:

  Số hạng chính giữa trong khai triển \({\left( {5x\; + \;2y} \right)^4}\) là

  • A. \(6{x^2}{y^2}\) 
  • B. \(24{x^2}{y^2}\) 
  • C. \(60{x^2}{y^2}\) 
  • D. \(600{x^2}{y^2}\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 Bài 25 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 2 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 3 trang 73 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 4 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Vận dụng trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.12 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.13 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.14 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.15 trang 75 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.16 trang 75 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.13 trang 57 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.14 trang 57 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.15 trang 57 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.16 trang 57 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 8.17 trang 57 SBT Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!