Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Mệnh đề toán học

Mỗi mệnh đề toán học phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề toán học không thể vừa đúng, vửa sai.

Ví dụ: Trong hai mệnh đề toán học sau đây, mênh đề nào là một khẳng định đúng? Mệnh đề nào là một khẳng định sai?

P: “Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng \({180^o}\)”

Q: “\(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ”

Giải

Mệnh đề P: “Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng \({180^o}\)” đúng.

Mệnh đề Q: “\(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ” sai vì \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ, không phải một số hữu tỉ.

Xét câu “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên.

a) Ta có thể khẳng định được tính đúng sai của câu trên hay không?

b) Với n = 21 thì câu ”21 chia hết cho 3” có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?

c) Với n = 10 thì câu ”10 chia hết cho 3” có phải là mệnh đề toán học hay không? Nếu là mệnh đề toán học thì mệnh đề đó đúng hay sai?

Hướng dẫn

a) Ta chưa thể khẳng định được tính đúng sai của câu “n chia hết cho 3” với n là số tự nhiên. 

b) Với n = 21 thì câu “21 chia hết cho 3” là mệnh đề toán học vì nó khẳng định một sự kiện trong toán học. Đây là một mệnh đề đúng do 21 : 3 = 7 nên 21 chia hết cho 3. 

c) Với n = 10 thì câu “10 chia hết cho 3” cũng là một mệnh đề toán học.  Mệnh đề này là mệnh đề sai vì 10 không chia hết cho 3. 

Nhận xét:

• Câu "nchia hết cho 3" với n là số tự nhiên là một mệnh đề chứa biến.
• Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa bgiến x, y là P(x; y);...

Ví dụ: Trong những câu sau, câu nào là mệnh đề chứa biến?

a) 18 chia hết cho 9;

b) 3n chia hết cho 9.

Giải

a) Câu "18 chia hết cho 9" là một mệnh đeè nhưng không phải là mệnh đề chứa biến

b) Câu "3n chia hết cho 9" là một mệnh đề chứa biến, kí hiệu là P(n): "3n chia hết cho 9"

Cho mệnh đề P. Mệnh đề "Không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là \(\overline P \).

Ví dụ: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau vfa nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:

A: "16 là bình phương của một số nguyên";

B: "25 không chia hết cho 5".

Giải

Mệnh đề \(\overline A\): "16 không phải là bình phương của một số nguyên" và \(\overline A\) sai.

Mệnh đề \(\overline B\): "25 chia hết cho 5" và \(\overline B\) đúng.

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\). Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai hi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Nhận xét: Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là "P kéo theo Q" hay "P suy ra Q" hay "Vì P nên Q"...

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề:

P: "Tam giác ABC có hai góc bằng 60⁰"; Q: "Tam giác ABC đều".

Hãy phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

Giải

\(P \Rightarrow Q\): "Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60⁰ thì tam giác ABC đều". Mệnh đề trên là đúng.

Nhận xét:  Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường phát biểu ở dạng mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\). 

Khi đó ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hay P là điều kiện đủ đề có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).  Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\).

Trong toán học, những câu khẳng định đúng phát biểu ở dạng "\(P \Leftrightarrow Q\)" cũng được coi là một mệnh đề toán học, gọi là mệnh đề tương đương.

Nhận xét: Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) có thể phát biểu ở những dạng như sau:

• "P tương đương Q";
• "P là điều kiện cận và đủ để có Q";
• "P khi và chỉ khi Q";
• "P nếu và chỉ nếu Q".

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC đều”

Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”,

Hãy phát biểu hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) và xác định tính đúng sai của mệnh đề đó.

Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Giải

+) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là: “Vì tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”.

+) Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\) suy ra tam giác ABC đều”.

Dễ thấy cả hai mệnh đề trên đều đúng.

+) Mệnh đề tương đương: (dùng một trong các cách sau:)

“Tam giác ABC đều tương đương tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”

“Tam giác ABC đều là điều kiện cần và đủ để có tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”

“Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”

“Tam giác ABC đều nếu và chỉ nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”

Cho mệnh đề "P(x), x \( \in \) X". Phủ định của mệnh đề \(\forall x \in X,P(x)\) là mệnh đề \(\exists x \in X,\overline {P(x)} \)  Phủ định của mệnh đề \(\exists x \in X,P(x)\) là mệnh đề \(\forall x \in X,\overline {P(x)} \)

Ví dụ: Bạn An nói: "Mọi số thực đều có bình phương là một số không âm"

Bạn Bình phủ định lại câu nói của bạn An: :"Có một số thực mà bình phương của nó là một số âm"

a) Sử dụng kí hiệu "\(\forall\)" để viết mệnh đề của bạn An.

b) Sử dụng kí hiệu "\(\exists\)" để viết mệnh đề của bạn Bình.

Giải

a) An: "\(\forall x \in \mathbb R ,{x^2} \ge 0\)"

b) Bình: "\(\exists x \in ,{x^2} < 0\)"

Câu 1: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới.

b) \(\sqrt {{{( - 5)}^2}}  =  - 5\)

c) \({5^2} + {12^2} = {13^2}\)

Hướng dẫn giải

a) “Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới” là mệnh đề đúng.

b) “\(\sqrt {{{( - 5)}^2}}  =  - 5\)” là mệnh đề sai (vì \(\sqrt {{{( - 5)}^2}}  = \left| { - 5} \right| = 5\)).

c) “\({5^2} + {12^2} = {13^2}\)” là mệnh đề đúng (vì \({5^2} + {12^2} = 169 = {13^2}\))

Câu 2: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

P: “5,15 là một số hữu tỉ”;

Q: “2 023 là số chẵn”.

Hướng dẫn giải

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là \(\overline P \): “5,15 không phải là một số hữu tỉ”

Mệnh đề P đúng, \(\overline P \) sai vì \(5,15 = \frac{{103}}{{20}} \in \mathbb{Q}\), là một số hữu tỉ.

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là \(\overline Q \): “2 023 không phải là số chẵn” (hoặc “2 023 là số lẻ”)

Mệnh đề Q sai, \(\overline Q \) đúng vì 2 023 có chữ số tận cùng là \(3 \ne \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\), đo đó 2 023 không phải là số chẵn.

Câu 3: Sử dụng kí hiệu \(\forall ,\exists \) để viết các mệnh đề sau:

a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0

b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.

Hướng dẫn giải

a) “\(\forall x \in \mathbb{R},x + ( - x) = 0\)”

b) “\(\exists n \in \mathbb{N},{x^2} = 9\)”

Qua bài giảng trên, giúp các em học sinh:

- Biết thế nào là một mệnh đề, mệnh đề phủ định, mệnh đề chứa biến, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, hai mệnh đề tương đương.

- Xác định được một câu cho trước có là mệnh đề hay không.

- Biết phủ định của một mệnh đề, xác định được tính đúng sai của một mệnh đề.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Chương 1 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Một mệnh đề có thể có đặc điểm nào sau đây?

  • A. Không đúng không sai
  • B. Hoặc đúng hoặc sai
  • C. Vừa đúng vừa sai
  • D. Cảm thán

• Câu 2:

  Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề đúng:

  • A. π là một số hữu tỉ
  • B. Tổng của hai cạnh một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba
  • C. Bạn có chăm học không?
  • D. 3 + 2 = 7

• Câu 3:

  Mệnh đề nào sau đây sai?

  • A. Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau
  • B. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau
  • C. Tam giác có ba cạnh bằng nhau thì có ba góc bằng nhau
  • D. Tam giác có ba góc bằng nhau thì có ba cạnh bằng nhau

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Chương 1 Bài 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Hoạt động 1 trang 5 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 1 trang 5 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 3 trang 6 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 4 trang 7 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 4 trang 7 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 5 trang 8 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 6 trang 8 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 7 trang 9 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Hoạt động 8 trang 10 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Luyện tập 7 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 11 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 1 trang 7 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 7 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 7 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 8 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 8 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 8 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 8 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 8 trang 8 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 9 trang 8 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 10 trang 8 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 11 trang 9 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 12 trang 9 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 13 trang 9 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 14 trang 9 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 15 trang 9 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 16 trang 9 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 17 trang 10 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!