Hai quả cầu nhỏ \({{m}_{1}},{{m}_{2}}\) treo vào cùng một điểm bởi hai dây nhẹ, không dãn, cùng chiều dài \(l\). Ban đầu hệ có vị trí như hình vẽ. Buông để quả cầu \({{m}_{1}}\) chuyển động. Bỏ qua ma sát và lực cản

a) Vận tốc của  \({{m}_{1}}\) ngay trước va chạm và vận tốc của \({{m}_{1}},{{m}_{2}}\) ngay sau va chạm

Gọi \(v\) là vận tốc quả cầu 1 ngay trước va chạm; \({{v}_{1}}\) và \({{v}_{2}}\) là vận tốc của quả cầu 1 và 2 ngay sau va chạm

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho quả cầu 1 tại hai vị trí: ban đầu và trước khi va chạm với quả cầu 2, ta được:

\({{m}_{1}}gl=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{v}^{2}}\Rightarrow v=\sqrt{2gl}\) (1)

Vì hệ "hai quả cầu" là hệ kín và va chạm là đàn hồi nên:

+ Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ, ta được:

\({{m}_{1}}v={{m}_{1}}{{v}_{1}}+{{m}_{2}}{{v}_{2}}\) (2)

+ Áp dụng định luật bảo toàn động năng, ta được:

\(\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{v}^{2}}=\frac{1}{2}{{m}_{1}}v_{1}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}v_{2}^{2}\) (3)

Từ (1) và (2) ta được: \({{v}_{1}}=\frac{\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right)v}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}};{{v}_{2}}=\frac{2{{m}_{1}}v}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}\) (4)

Vậy: vận tốc của \({{m}_{1}}\) ngay trước va chạm là \(v=\sqrt{2gl}\) và vận tốc của \({{m}_{1}},{{m}_{2}}\) ngay sau va chạm là \({{v}_{1}}=\frac{\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right)v}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}},{{v}_{2}}=\frac{2{{m}_{1}}v}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}\)

b) Lực tổng hợp do hai dây tác dụng lên giá treo

Tại vị trí thấp nhất của quỹ đạo, các lực tác dụng vào hai quả cầu (trọng lực \(\overrightarrow{P}\) và lực căng dây \(\overrightarrow{T}\)) coi như đều có phương thẳng đứng. Theo định luật II Niuton, ta có:

+ Quả cầu \({{m}_{1}}\): \(\overrightarrow{{{P}_{1}}}+\overrightarrow{{{T}_{1}}}={{m}_{1}}\overrightarrow{{{a}_{1}}}\Rightarrow {{T}_{1}}={{m}_{1}}g+{{m}_{1}}{{a}_{1}}={{m}_{1}}\left( g+\frac{v_{1}^{2}}{l} \right)\)

+ Quả cầu \({{m}_{2}}\): \(\overrightarrow{{{P}_{1}}}+\overrightarrow{{{T}_{2}}}={{m}_{2}}\overrightarrow{{{a}_{2}}}\Rightarrow {{T}_{2}}={{m}_{2}}g+{{m}_{2}}{{a}_{2}}={{m}_{2}}\left( g+\frac{v_{2}^{2}}{l} \right)\)

Trong tương tác hai quả cầu đều thu gia tốc. Vận tốc của \({{m}_{1}}\) biến thiên từ vị trí ban đầu \(v\) đến vị trí cuối cùng \({{v}_{1}}\), vận tốc của \({{m}_{2}}\) biến thiên từ vị trí ban đầu 0 đến vị trí cuối cùng \({{v}_{2}}\). Các lực căng dây cũng biến đổi và lực tổng hợp đặt lên giá đỡ là \(F={{T}_{1}}+{{T}_{2}}\) cũng thay đổi

+ Lúc \({{m}_{1}}\) vừa rơi xuống tới \(B\), ta có: \({{v}_{1}}=v\) và \({{v}_{2}}=0\)

\({{T}_{1}}=3{{m}_{1}}g,{{T}_{2}}={{m}_{2}}g;{{F}_{1}}=3{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}g=\left( 3{{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)g\)

+ Lúc hai quả cầu đã biến dạng tối đa, gọi V là vận tốc của hai quả cầu lúc này. Ta có:

\(\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)V={{m}_{1}}v\Rightarrow V=\frac{{{m}_{1}}v}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}\) (định luật bảo toàn động lượng)

và \({{T}_{1}}={{m}_{1}}\left( g+\frac{{{V}^{2}}}{l} \right)={{m}_{1}}\left( g+{{\left( \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)}^{2}}\frac{{{v}^{2}}}{l} \right)={{m}_{1}}g\left( 1+2{{\left( \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)}^{2}} \right);\)

\({{T}_{2}}={{m}_{2}}\left( g+\frac{{{V}^{2}}}{l} \right)={{m}_{2}}\left( g+{{\left( \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)}^{2}}\frac{{{v}^{2}}}{l} \right)={{m}_{2}}g\left( 1+2{{\left( \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)}^{2}} \right)\)

\({{F}_{2}}={{T}_{1}}+{{T}_{2}}=\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+2\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right){{\left( \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)}^{2}} \right)g=\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+2\frac{m_{1}^{2}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)g\)

Khi hai quả cầu tách rời nhau thì \({{v}_{1}}\) và \({{v}_{2}}\) có giá trị như trong (4), hợp lực đặt vào giá đỡ bây giờ là:

\({{F}_{3}}={{T}_{1}}+{{T}_{2}}={{m}_{1}}\left( g+\frac{v_{1}^{2}}{l} \right)+{{m}_{2}}\left( g+\frac{v_{2}^{2}}{l} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{F}_{3}}=\left( {{m}_{1}}g+{{m}_{2}}g+\frac{{{m}_{1}}v_{1}^{2}+{{m}_{1}}v_{2}^{2}}{l} \right)=\left( {{m}_{1}}g+{{m}_{2}}g+\frac{{{m}_{1}}{{v}^{2}}}{l} \right)=\left( 3{{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)g\)

\(\Rightarrow {{F}_{3}}={{F}_{1}}\)

Vì \(\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+2\frac{m_{1}^{2}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)g\le \left( 3{{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)g\)

\(\Rightarrow F={{F}_{\min }}={{F}_{2}}=\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+2\frac{m_{1}^{2}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)g\)

Vậy: trong thời gian va chạm, lực tổng hợp do hai dây tác dụng lên giá treo thay đổi trong khoảng \({{F}_{2}}\le F\le {{F}_{1}}={{F}_{3}}\); lực tổng hợp này có giá trị nhỏ nhất là \({{F}_{\min }}={{F}_{2}}=\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+2\frac{m_{1}^{2}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right)g\) và đạt được vào lúc hai quả cầu biến dạng tối đa