Hai vật nặng có khối lượng \({{m}_{1}}=10kg\) và \({{m}_{2}}=20kg\) được mắc vào hai đầu của lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng của lò xo là \(k=100(N/m)\). Vật nặng \({{m}_{2}}\) được đặt tựa vào tường thẳng đứng. Hệ được đặt trên mặt phẳng nằm ngang như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa mặt phẳng và hai vật là như nhau và có giá trị \(\mu =0,1\). Ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng, lò xo không biến dạng. Một viên đạn có khối lượng \(m=1kg\) bay với vận tốc \({{v}_{0}}=10(m/s)\) hợp với phương ngang góc \(\alpha =30{}^\circ \) đến cắm vào vật \({{m}_{1}}\). Giả sử lực tương tác giữa \(m\) và \({{m}_{1}}\) rất lớn so với trọng lực của chúng. Coi thời gian va chạm đủ nhỏ để lò xo chưa kịp biến dạng trong quá trình xảy ra va chạm

a) Vận tốc của vật \({{m}_{1}}\) ngay sau khi va chạm

- Động lượng của hệ hai vật "\(m\) và \({{m}_{1}}\)":

+ Trước va chạm: \({{p}_{x}}=m{{v}_{0}}\cos \alpha ;{{p}_{y}}=m{{v}_{0}}\sin \alpha \)

+ Sau va chạm: \({{p}_{x}}^{\prime }=\left( m+{{m}_{1}} \right){{v}_{1}};{{p}_{y}}^{\prime }=0\)

- Độ biến thiên động lượng của hệ phương \(Oy\):

\(\Delta {{p}_{y}}={{p}_{y}}^{\prime }-{{p}_{y}}=-m{{v}_{0}}\sin \alpha \)

- Trong quá trình va chạm hệ chịu tác dụng của trọng lực và phản lực \(\overrightarrow{F}\) của mặt phẳng ngang. Phản lực này có thể phân tích thành hai thành phần: thành phần pháp tuyến \({{F}_{y}}\) và lực ma sát \({{F}_{ms}}\). Theo dữ kiện bài toán, ta thấy \(F\gg {{F}_{y}}\) và \(F\gg P\)

- Áp dụng định lí biến thiên động lượng theo phương \(Oy\), ta được:

\({{F}_{y}}+\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)g=\frac{\Delta {{p}_{y}}}{\Delta t}=-\frac{m{{v}_{0}}\sin \alpha }{\Delta t}\)

- Vì \({{F}_{y}}\gg P\) nên: \({{F}_{y}}=-\frac{m{{v}_{0}}\sin \alpha }{\Delta t}\)

- Áp dụng định lí biến thiên động lượng theo phương \(Ox\), ta được: \(\Delta {{p}_{x}}={{F}_{ms}}\Delta t\)

Ta có: \(\Delta {{p}_{x}}=\left( m+{{m}_{1}} \right){{v}_{1}}-m{{v}_{0}}\cos \alpha ;{{F}_{ms}}=m{{F}_{y}}\)

\(\Leftrightarrow \left( m+{{m}_{1}} \right){{v}_{1}}-m{{v}_{0}}\cos \alpha =-\mu m{{v}_{0}}\sin \alpha \)

\(\Rightarrow {{v}_{1}}=\frac{m{{v}_{0}}\left( \cos \alpha -\mu \sin \alpha  \right)}{m+{{m}_{1}}}=\frac{1.10\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-0,1.\frac{1}{2} \right)}{1+10}=0,74\left( m/s \right)\)

Vậy: Vận tốc của vật \({{m}_{1}}\) ngay sau khi va chạm là \({{v}_{1}}=0,74\left( m/s \right)\)

b) Độ biến dạng cực đại của lò xo

Sau khi tương tác hệ vật chuyển động chịu tác dụng của lực ma sát nên cơ năng của hệ giảm dần vì vậy độ biến dạng cực đại của lò xo chính là độ nén cực đại của lò xo ngay sau thời điểm va chạm. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

\(\frac{1}{2}\left( m+{{m}_{1}} \right)v_{1}^{2}=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}+\mu \left( m+{{m}_{1}} \right)gx\)

\(50{{x}^{2}}+11x-3,01=0\Rightarrow \left( \begin{align}

  & x=15,9cm \\

 & x=-37,9cm \\

\end{align} \right.\)

Vậy: độ biến dạng (nén) cực đại của lò xo trong quá trình hệ dao động là \({{x}_{\max }}=15,9cm\)

c) Vật \({{m}_{2}}\) có dịch chuyển không

Giả sử sau khi lò xo bị nén cực đại, vật \(m\) và \({{m}_{1}}\) dịch chuyển sang trái tới vị trí lò xo biến dạng một đoạn \(x\) thì dừng lại. Trong quá trình này ta giả sử vật \({{m}_{2}}\) vẫn đứng yên. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, ta có:

\(\frac{1}{2}kx_{\max }^{2}=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}+\mu \left( m+{{m}_{1}} \right)\left( {{x}_{\max }}+x \right)\)

\(50{{x}^{2}}+1,1x-1,098=0\Rightarrow \left( \begin{align}

  & x=13,7cm \\

 & x=-15,9cm \\

\end{align} \right.\)

- Như vậy, khi lò xo bị dãn ra một đoạn \(13,7cm\) thì vật \(m\) và \({{m}_{1}}\) dừng lại. Tại vị trí này lực đàn hồi của lò xo là:

\({{F}_{dh}}=kx=100.0,137=13,7N\)

- Mặt khác, để vật \({{m}_{2}}\) dịch chuyển sang trái thì:

\({{F}_{dh}}\ge {{F}_{msn(\max )}}=\mu {{m}_{2}}g=0,1.20.10=20N>13,7N\)

Vậy: Trong suốt quá trình chuyển động của \(m\) và \({{m}_{1}}\) thì \({{m}_{2}}\) vẫn đứng yên.