Hai quả cầu nhỏ khối lượng m1 = 600g và m2 = 400g được nối với nhau bằng một sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể, vắt qua ròng rọc cố định như hình vẽ. Quả cầu m1 có thể lăn trên máng nghiêng phẳng, nghiêng góc \(\alpha =30{}^\circ \) so với phương ngang và tiếp tuyến với một phần hình tròn bán kính R nằm trong mặt phẳng thẳng đứng.

a) Giá trị lớn nhất của bán kính R để quả cầu m₁ lăn hết phần hình tròn của máng

- Khi dây chưa đứt, hai quả cầu chuyển động cùng gia tốc:

\(a=\frac{{{m}_{2}}g-{{m}_{1}}g\sin \alpha }{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=\frac{0,4.10-0,6.10.\frac{1}{2}}{0,6+0,4}=1\left( m/{{s}^{2}} \right)\)

- Khi dây đứt, quả cầu m₁ lên được độ cao h₁ và có vận tốc v₁, với:

\({{h}_{1}}=\frac{a{{t}^{2}}}{2}.\sin \alpha =\frac{{{2}^{2}}}{2}.\frac{1}{2}=1m;{{v}_{1}}=at=1.2=2\left( m/s \right)\)

- Sau khi dây đứt, quả cầu m₁ tiếp tục chuyển động lên theo mặt phẳng nghiêng với vận tốc ban đầu v₁ và gia tốc –g và lên thêm độ cao:

\({{h}_{1}}^{\prime }=\frac{v_{2}^{1}}{2g}=\frac{{{2}^{2}}}{2.10}=0,2m\)

- Độ cao cực đại của m₁ là: \(H=h-{{h}_{0}}+{{h}_{1}}+{{h}_{1}}^{\prime }=5,4-1,6+1+0,2=5m.\)

- Tại vị trí M, áp dụng định luật II Niu-tơn cho m₁: \({{\overrightarrow{Q}}_{1}}+{{\overrightarrow{P}}_{1}}={{m}_{1}}\overrightarrow{a}\)               (1)

- Chiếu (1) lên phương bán kính OM, ta được: \({{m}_{1}}g\cos \beta +{{Q}_{1}}=\frac{{{m}_{1}}{{v}^{2}}}{R}.\)

\(\Rightarrow {{Q}_{1}}={{m}_{1}}g\left( \frac{{{v}^{2}}}{gR}-\cos \beta  \right)\)                                              (2)

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m₁, ta được:

\({{m}_{1}}gH=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{v}^{2}}+{{m}_{1}}gR\left( 1+\cos \beta  \right)\)

- Từ (1) và (2), ta có:

\({{Q}_{1}}={{m}_{1}}g\left( \frac{2H}{R}-3\cos \beta -2 \right)\)

- Để quả cầu lăn hết phần máng hình tròn thì nó phải lăn qua được điểm cao nhất C, tại đó:

\({{Q}_{C}}\ge 0\Leftrightarrow {{m}_{1}}g\left( \frac{2H}{R}-5 \right)\ge 0\Rightarrow R\le \frac{2H}{5}=\frac{2.5}{5}=2m\Rightarrow {{R}_{\max }}=2m\)

Vậy: Giá trị lớn nhất của bán kính R để quả cầu m₁ lăn hết phần hình tròn của máng là \({{R}_{\max }}=2m.\)

b) Giá trị của góc \(\varphi \) để quả cầu m₁ rời máng tại điểm B lại đi vào máng tại điểm D

- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho m₁, ta được:

\({{m}_{1}}gH=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{v}_{B}}^{2}+{{m}_{1}}gR\left( 1+\cos \varphi  \right)\)                                    (4)

- Tại B, quả cầu m₁ chuyển động như được ném xiên với vận tốc \({{\overrightarrow{v}}_{B}}\) hợp với phương ngang một góc \(\varphi .\)

Tầm ném xa của vật: \(L={{x}_{\max }}=\frac{v_{B}^{2}\sin 2\varphi }{g}.\)

- Để m₁ đến đúng điểm D: \(L=2R\sin \varphi \Leftrightarrow \frac{v_{B}^{2}\sin 2\varphi }{g}=2R\sin \varphi .\)

\(\Leftrightarrow \frac{v_{B}^{2}\cos \varphi }{g}=R\Rightarrow {{v}_{B}}=\sqrt{\frac{gR}{\cos \varphi }}.\)

- Từ (4) và (5), ta được:

\(2g\left( H-R\left( 1+\cos \varphi  \right) \right)=\frac{gR}{\cos \varphi }.\)

\(\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}\varphi +\left( 2-\frac{2H}{R} \right)\cos \varphi +1=0\)

\(\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}\varphi +3\cos \varphi +1=0\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\)

Vậy: Để quả cầu m₁ rời máng tại điểm B lại đi vào máng tại điểm D thì \(\varphi =\frac{\pi }{3}.\)