Hai quả cầu nhỏ khối lượng bằng nhau, nối với nhau bằng thanh rắn nhẹ, dài l (tạ đôi) được đặt thẳng đứng trên mặt sàn nhẵn nằm ngang và dựng sát tường nhẵn như hình vẽ. Ban đầu một trong hai quả cầu được dịch ngang một khoảng nhỏ và thả không vận tốc đầu. Tính vận tốc của các quả cầu khi quả cầu trên về đến mặt phẳng ngang.

a) Trường hợp quả cầu trên được dịch ngang

- Khi quả cầu dưới (I) còn nén vào tường, quả cầu trên (II) chuyển động tròn, bán kính l. Tại thời điểm quả cầu dưới hết nén vào tường thì lực tác dụng lên quả cầu (II) chỉ còn trọng lực, ta có:

\(\frac{mv_{0}^{2}}{\ell }=mg\cos \alpha \)                                                (1) 

Và \(\frac{mv_{0}^{2}}{2}=mg\ell \left( 1-\cos \alpha  \right)\)                             (2)

(v₀ là vận tốc quả cầu (II) lúc quả cầu (I) hết nén vào tường)

- Từ (1) và (2): \(\cos \alpha =\frac{2}{3}\) và \({{v}_{0}}=\sqrt{\frac{2gl}{3}}\)      (3)

Gọi \({{\overrightarrow{v}}_{1}},{{\overrightarrow{v}}_{2}}\) là vận tốc quả cầu (I) và (II) khi về đến mặt phẳng nằm ngang. Ta có:

- Bảo toàn cơ năng: \(mg\ell =\frac{mv_{1}^{2}}{2}+\frac{mv_{2}^{2}}{2}\Leftrightarrow v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=2g\ell \)                    (4)

- Bảo toàn động lượng: \(m{{v}_{0}}\cos \alpha =m{{v}_{1}}+m{{v}_{2}}\cos \beta \)                        (5)

- Vì thanh cứng nên \({{v}_{1}}={{v}_{2}}\cos \beta \)                                                     (6)

- Từ (3), (4), (5) và (6): \({{v}_{1}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{3}gl};{{v}_{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{13}{3}gl}.\)

b) Trường hợp quả cầu dưới được dịch ngang

- Khi quả cầu (II) rời tường, ta có:

\(\frac{mv_{01}^{2}}{2}+\frac{mv_{02}^{2}}{2}=mg\ell \left( 1-\sin \alpha  \right)\)                                                   (7)

Với \({{v}_{1}}\cos \alpha ={{v}_{02}}\sin \alpha \)                                                                     (8)

- Trong hệ quy chiếu gắn với quả cầu (I), quả cầu (II) chuyển động tròn bán kính l. Tại thời điểm đang xét vận tốc quả cầu II đối với quả cầu I là:

\({{\overrightarrow{v}}_{0}}={{\overrightarrow{v}}_{02}}-{{\overrightarrow{v}}_{01}}\Rightarrow v_{0}^{2}=v_{01}^{2}+v_{02}^{2}\)                                                        (9)

- Phương trình chuyển động của quả cầu II là:

\(mg\sin \alpha =m\frac{v_{0}^{2}}{l}\)                                                                             (10)

- Từ (7), (8), (9) và (10): \(\sin \alpha =\frac{2}{3};{{v}_{1}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}gl};{{v}_{02}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{10}{3}gl}\)

Gọi \({{\overrightarrow{v}}_{1}},{{\overrightarrow{v}}_{2}}\) là vận tốc quả cầu (I) và (II) khi về đến mặt phẳng nằm ngang.

Ta có:

- Bảo toàn cơ năng: \(mg\ell =\frac{mv_{1}^{2}}{2}+\frac{mv_{2}^{2}}{2}\Leftrightarrow 2g\ell =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\)                  (11)

- Bảo toàn động lượng: \(m{{v}_{01}}=m{{v}_{1}}+m{{v}_{2}}\cos \beta \)                            (12)

- Vì thanh cứng nên:  \({{v}_{2}}\cos \beta ={{v}_{1}}\)                                                   (13)

- Từ (11), (12) và (13): \({{v}_{1}}=\frac{{{v}_{01}}}{2}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{3}gl};{{v}_{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{13}{3}gl}.\)

Vậy: Vận tốc của các quả cầu khi quả cầu trên về đến mặt phẳng ngang:

- Khi quả cầu trên được dịch ngang là  \({{v}_{1}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{3}gl};{{v}_{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{13}{3}gl}.\)

- Khi quả cầu dưới được dịch ngang là \({{v}_{1}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{3}gl};{{v}_{2}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{13}{3}gl}.\)