Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{10x^2+4xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+4xy+10y^2}=4(x+y)

Ta có \(\sqrt{10x^2+4xy+2y^2}=\sqrt{(3x+y)^2+(x-y)^2}\geq 3x+y\), dấu bằng xảy ra khi x = y và \(3x+y\geq 0\)
Tương tự \(\sqrt{2^2+4xy+10y^2}=\sqrt{(x+3y^)^2+(x-y)^2}\geq x+3y\), dấu bằng xảy ra khi x = y và \(x+3y\geq 0\)
Do đó \(\sqrt{10x^2+4xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+4xy+10y^2}=4(x+y)\) khi x = y và \(x+y\geq 0\)
Thay y = x vào phương trình thứ 2 ta được:
\((\sqrt{x+1}-2\sqrt{4-x})\sqrt{2x^2+18}=5(x-3)\)   (điều kiện \(0\leq x\leq 4\))
\(\Leftrightarrow (5x-15)\sqrt{2x^2+18}=5(x-3)(\sqrt{x+1}+2\sqrt{4-x})\)
\(\Leftrightarrow (5x-15)(\sqrt{2x^2+18}-(\sqrt{x+1}+2\sqrt{4-x}))=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=3\\ \sqrt{2x^2+18}=\sqrt{x+1}+2\sqrt{4-x} \ \ (1) \end{matrix}\)

Ta có (1) \(\Leftrightarrow 2x^2+18=17-3x+4\sqrt{(x+1)(4-x)}\)
\(\Leftrightarrow (x+1)(2x+1)-4\sqrt{(x+1)(4-x)}=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=-1\\ \sqrt{x+1}(2x+1)-4\sqrt{4-x}=0 \end{matrix}\)
\((2) \Leftrightarrow 4x^2+8x^2+21x-63=0\Leftrightarrow (2x-3)(4x^2+14x+42)=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)
Tóm lại hệ cps 3 nghiệm \((-1;1),(3;3)(\frac{3}{2};\frac{3}{2})\)