Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 8x^3+\sqrt{y-2}=y\sqrt{y-2}-2x

Điều kiện: \(\left\{\begin{matrix} 2x+1\geq 0\\ y-2\geq 0 \ \ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{1}{2}\\ y\geq 2 \ \ \end{matrix}\right.\)

Phương trình \(8x^3+\sqrt{y-2}=y\sqrt{y-2}-2x\Leftrightarrow (2x)^3+(2x)=(\sqrt{y-1})^3+\sqrt{y-2}\)
Xét hàm đặc trưng: \(f(t)=t^3+t,f'(t)=3t^2+1>0\forall t\)
Hàm số f(t) liên tục và đồng biến trên R. Suy ra: \(2x=\sqrt{y-2}\)
Thế \(2x=\sqrt{y-2}\) vào phương trình thứ hai ta được:
      \((2x-1)\sqrt{2x+1}=8x^3-52x^2+82x-29\)
\(\Leftrightarrow (2x-1)\sqrt{2x+1}=(2x-1)(4x^2-24x+29)\)
\(\Leftrightarrow (2x-1)(\sqrt{2x+1}-4x^2-24x+29)=0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=3\\ \sqrt{2x+1}-4x^2+24x-29=0 \end{matrix}\)
Giải phương trình: \(\sqrt{2x+1}-4x^2+24x-29=0\)
Đặt \(t=\sqrt{2x+1},t\geq 0\Rightarrow 2x=t^2-1\)
Ta được phương trình: \(t-(t^2-1)^2+12(t^2-1)-29=0\Leftrightarrow t^4-14t^2-t+42=0\)
\(\Leftrightarrow (t-2)(t+3)(t^2-t-7)=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} t=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ t=-3 \ \ \ (loai) \\ t=\frac{1-\sqrt{29}}{2} \ (loai)\\ t=\frac{1+\sqrt{29}}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
Với \(t=2\Rightarrow x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=11\)
Với \(t=\frac{1+\sqrt{29}}{2}\Rightarrow x=\frac{13+\sqrt{29}}{4}\Rightarrow y=\frac{103+13\sqrt{29}}{2}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 cặp nghiệm: \(\left ( \frac{1}{2};3 \right );\left ( \frac{3}{2};11 \right );\left ( \frac{13+\sqrt{29}}{4} ;\frac{103+13\sqrt{29}}{2}\right )\)