ON
YOMEDIA
VIDEO_3D

Với ba số \(a, b, c\) không âm, chứng minh bất đẳng thức: \(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \)

Theo dõi Vi phạm
YOMEDIA

Trả lời (1)

 
 
 
  • Vì \(a, b\) và \(c\) không âm nên \(\sqrt a;\sqrt b \) và \(\sqrt c \) tồn tại.

    Ta có: \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

    \(\eqalign{
    & a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr 
    & \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr} \)

    \({\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

    \(\eqalign{
    & b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr 
    & \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr} \)

    \({\left( {\sqrt c  - \sqrt a } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

    \(\eqalign{
    & c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr 
    & \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr} \)

    Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

    \(\dfrac{{a + b}}{2} + \dfrac{{b + c}}{2} + \dfrac{{c + a}}{2} \)\(\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) 

    \(\Leftrightarrow \dfrac{{2a + 2b+2c}}{2} \)\(\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) 

    \( \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

      bởi trang lan 18/02/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng


cached getFaqListNewByGradeSubject PC 10.20.1.97 : H247NET3_FAQ_LIST_NEWtoanhoc_lop9

 

YOMEDIA
1=>1