YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị lớn nhất của xyz biết hệ phương trình x≥2;y≥9;z≥1951, x+y+z=2016

Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện \(\hept{\begin{cases}x\ge2;y\ge9;z\ge1951\\x+y+z=2016\end{cases}}\).Tìm giá trị lớn nhất của xyz

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Đặng Thế Vĩ

    Theo đề bài ta có:\(x+y+z=2016\)

    \(\Rightarrow2016-z=x+y\ge2+9=11\)

    \(\Rightarrow z\le2016-11=2005\)

    Ta lại có: \(x^2+y^2\ge2xy\)

    \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

    \(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(2016-z\right)^2}{4}\)

    \(\Leftrightarrow xyz\le\frac{\left(2016-z\right)^2}{4}.z=\frac{z^3}{4}-1008z^2+\frac{2016^2z}{4}\)(1)

    Xét hàm số: \(f\left(z\right)=\frac{z^3}{4}-1008z^2+\frac{2016^2z}{4}\)

    Ta chứng minh \(f\left(z\right)\) nghịch biến trên \(z\in\left[1951;2005\right]\)

    Với mọi \(a,b\in\left[1951;2005\right]\)sao cho với \(a< b\) thì

    \(f\left(a\right)-f\left(b\right)=\frac{a^3}{4}-1008a^2+\frac{2016^2}{4}a-\frac{b^3}{4}+1008b^2-\frac{2016^2}{4}b\)

    \(=\frac{1}{4}\left(\left(a^3-b^3\right)+\left(-4032a^2+4032b^2\right)+\left(2016^2a-2016^2b\right)\right)\)

    \(=\frac{1}{4}\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2-4032a-4032b+2016^2\right)\)

    \(>\frac{a-b}{4}.\left(1951^2+1951.1951+1951^2-4032.2005-4032.2005+2016^2\right)\)

    \(=\frac{a-b}{4}.\left(-684861\right)>0\)

    \(\Rightarrow f\left(a\right)-f\left(b\right)>0\)

    \(\Rightarrow\)Hàm số nghịch biến trên \(\left[1951;2005\right]\)

    \(\Rightarrow\)Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại z nhỏ nhất

    \(\Rightarrow Max\left(f\left(z\right)\right)=\frac{1951^3}{4}-1008.1951^2+\frac{2016^4}{4}.1951=2060743,75\)(2)

    Từ (1) và (2) ta có: \(Max\left(xyz\right)=2060743,75\) tại \(\left\{\begin{matrix}x=y=32,5\\z=1951\end{matrix}\right.\)

      bởi Đặng Thế Vĩ 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF