YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x/x + 1 + y/y + 1 + z/z + 1

cho x,y,z >0, x+y+z=1 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\(P=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Vương Đại

    \(P=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)

    Thay \(x+y+z=1\) vào biểu thức

    \(\Rightarrow P=\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\)

    Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2x+y+z}=\dfrac{x}{x+y+x+z}\le\dfrac{x}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\\\dfrac{y}{x+2y+z}=\dfrac{y}{x+y+y+z}\le\dfrac{y}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\right)\\\dfrac{z}{x+y+2z}=\dfrac{z}{x+z+y+z}\le\dfrac{z}{4}\left(\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}\right)\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow VT\le\dfrac{x}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)+\dfrac{y}{4}\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}\right)+\dfrac{z}{4}\left(\dfrac{1}{x+z}+\dfrac{1}{y+z}\right)\)

    \(\Rightarrow VT\le\dfrac{x}{4\left(x+y\right)}+\dfrac{x}{4\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{4\left(x+y\right)}+\dfrac{y}{4\left(y+z\right)}+\dfrac{z}{4\left(x+z\right)}+\dfrac{z}{4\left(y+z\right)}\)

    \(\Rightarrow VT\le\dfrac{x}{4\left(x+y\right)}+\dfrac{y}{4\left(x+y\right)}+\dfrac{x}{4\left(x+z\right)}+\dfrac{z}{4\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{4\left(y+z\right)}+\dfrac{z}{4\left(y+z\right)}\)

    \(\Rightarrow VT\le\dfrac{x+y}{4\left(x+y\right)}+\dfrac{x+z}{4\left(x+z\right)}+\dfrac{y+z}{4\left(y+z\right)}\)

    \(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\)

    \(\Rightarrow P\le\dfrac{3}{4}\)

    Vậy \(P_{max}=\dfrac{3}{4}\)

    Dấu '' = '' xảy ra khi \(x=y=z\)

      bởi Vương Đại 31/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF