YOMEDIA
NONE

Chứng minh x/y+z + y/x+ z + z/x+y + 4 căn2*căn(xy + yz + xz/ x^2 + y^2 + z^2) ≥ 6

Cho \(x,y\ge0\) . Chứng minh \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\ge6\) 

Anh chị giúp em với ạ

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Thảo Thảo

    Dự đoán dấu bằng có khi (x,y,z)(x,y,z) là các hoán vị (0;1;1).

    Từ đó ta đánh giá làm mất căn:

    Ta có:

    \(4\sqrt{2}.\sqrt{\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}}=\frac{8\left(xy+yz+zx\right)}{\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)}}\)\(\ge\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\)

    Do đó ta chỉ cần có

    \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge6\)

    Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\) suy ra \(x\ge y>0,z\ge0\)

    Khi đó, ta chứng minh BĐT mạnh hơn

    \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge6\)

    \(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}-\frac{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\left(x+y+2z\right)\ge8\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

    Hay \(\left(x+y+z\right)^4+z\left(x+y+z\right)^3\ge8z^2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

    Theo AM-GM:\(\left(x+y+z\right)^4=\left(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right)^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

    Vậy ta chỉ cần chứng minh \(z\left(x+y+z\right)^3\ge8z^2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

    \(BDT\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge8z\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

    Ta có:\(\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3x\left(y^2+z^2\right)+3y\left(z^2+x^2\right)+3z\left(x^2+y^2\right)+6xyz\ge x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+5xyz+8z^3+3z\left(x^2+y^2\right)\)

    Suy ra \(\left(x+y+z\right)^3-8z\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5xyz-5z\left(x^2+y^2\right)\)

    \(=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5z\left(xy-x^2-y^2\right)\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5y\left(xy-x^2-y^2\right)\)

    \(\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2-5y\left(x^2+y^2\right)\)

    \(=\left(x^2-y^2+4\right)\left(x-y\right)\ge0\)

    BĐT được chứng minh.

     

     

     

     

      bởi Thảo Thảo 17/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON