ON
YOMEDIA

# Chứng minh x/y+z + y/x+ z + z/x+y + 4 căn2*căn(xy + yz + xz/ x^2 + y^2 + z^2) ≥ 6

Cho $$x,y\ge0$$ . Chứng minh $$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{2}\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{x^2+y^2+z^2}}\ge6$$

Anh chị giúp em với ạ

Theo dõi Vi phạm
YOMEDIA

## Trả lời (1)

• Dự đoán dấu bằng có khi (x,y,z)(x,y,z) là các hoán vị (0;1;1).

Từ đó ta đánh giá làm mất căn:

Ta có:

$$4\sqrt{2}.\sqrt{\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}}=\frac{8\left(xy+yz+zx\right)}{\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)}}$$$$\ge\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}$$

Do đó ta chỉ cần có

$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge6$$

Không mất tính tổng quát, giả sử $$x\ge y\ge z$$ suy ra $$x\ge y>0,z\ge0$$

Khi đó, ta chứng minh BĐT mạnh hơn

$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{16\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge6$$

$$\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}-\frac{8\left(x^2+y^2+z^2\right)}{\left(x+y+z\right)^2}\ge0$$

$$\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\left(x+y+2z\right)\ge8\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)$$

Hay $$\left(x+y+z\right)^4+z\left(x+y+z\right)^3\ge8z^2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)$$

Theo AM-GM:$$\left(x+y+z\right)^4=\left(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right)^2\ge8\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)$$

Vậy ta chỉ cần chứng minh $$z\left(x+y+z\right)^3\ge8z^2\left(x^2+y^2+z^2\right)$$

$$BDT\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge8z\left(x^2+y^2+z^2\right)$$

Ta có:$$\left(x+y+z\right)^3=x^3+y^3+z^3+3x\left(y^2+z^2\right)+3y\left(z^2+x^2\right)+3z\left(x^2+y^2\right)+6xyz\ge x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+5xyz+8z^3+3z\left(x^2+y^2\right)$$

Suy ra $$\left(x+y+z\right)^3-8z\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5xyz-5z\left(x^2+y^2\right)$$

$$=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5z\left(xy-x^2-y^2\right)\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2+5y\left(xy-x^2-y^2\right)$$

$$\ge x^3+y^3+3x^2y+3xy^2-5y\left(x^2+y^2\right)$$

$$=\left(x^2-y^2+4\right)\left(x-y\right)\ge0$$

BĐT được chứng minh.

bởi Thảo Thảo 17/01/2019
Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

## Các câu hỏi có liên quan

• ### Quãng đường từ trung tâm thương mại Bà Rịa đến Lotte Mart Vũng Tàu có độ dài khoảng 20km. Cứ 15 phút lại có một chuyến xe buýt chạy từ Trung Tâm thương mại Bà Rịa đến Lotte Mart Vũng Tàu cũng như theo chiều ngược lạu, bắt đầu từ 5h sáng. Thời gian mỗi chuyến khoảng 45p. Vẽ đồ thị chuyển động của các xe buýt trong thời gian từ 5h đến 7h

Quãng đường từ trung tâm thương mại Bà Rịa đến Lotte Mart Vũng Tàu có độ dài khoảng 20km. Cứ 15 phút lại có một chuyến xe buýt chạy từ Trung Tâm thương mại Bà Rịa đến Lotte Mart Vũng Tàu cũng như theo chiều ngược lạu, bắt đầu từ 5h sáng. Thời gian mỗi chuyến khoảng 45p.

a) Vẽ đồ thị chuyển động của các xe buýt trong thời gian từ 5h đến 7h

b) Dựa vào đồ thị hàm số, hãy cho biết:

- Xe buýt chạy từ trung tâm thương mại Bà Rịa lúc 5 giờ gặp bao nhiêu xe di ngược lại.

- Xe buýt chạy từ Lotte Mart Vũng Tàu lúc 6 giờ gặp bao nhiêu xe đi ngược lại

10/01/2021

16/08/2020

16/08/2020

Câu 5

10/07/2020

• ### Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: $$x^2 - 2xy - x + y + 3 = 0$$?

Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x- 2xy - x + y + 3 = 0
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( y2+1 )( 2x2+x+1) = x+5

16/06/2020

• ### Giải phương trình $${x^2} - 9x + 20 = 0$$?

giúp mình với ạ

Giải phương trình $${x^2} - 9x + 20 = 0$$?

14/06/2020

26/05/2020

26/05/2020

26/05/2020

23/05/2020

23/05/2020

• ### Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x + y = 2?

Giúp mình bài 5 nha  mình cần gấp lắm

08/05/2020

05/05/2020

• ### Cho thêm 1 phương trình để được 1 hệ có nghiệm duy nhất, hệ vô nghiệm

Cho Phương trình 2x+5y=-7. Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để được một hệ có nghiệm duy nhât,hệ vô nghiệm?

28/04/2020

28/04/2020

• ### Tìm giá trị của m để phương trình 4x^2 + 4mx + m + 6 = 0 có nghiệm kép

Cho phương trình:

4x^2 + 4mx + m + 6 = 0

28/04/2020

...

20/04/2020

17/04/2020

• ### Thực hiện phép tính 3√32+4√8-5√18

Thực hiện phép tính 3√32+4√8-5√18

16/04/2020

• ### Giải 2 hệ phương trình x+2y=5 và 3x_+ 4y=5; 7x+4y=18 và 3x-4y=2

Giải 2 hệ phương trình x+2y=5 và 3x_+ 4y=5; 7x+4y=18 và 3x-4y=2

16/04/2020

YOMEDIA