YOMEDIA
NONE

Chứng minh tam giác DEF có 3 góc nhọn

Cho tam giác ABC cân tại A, đường tròn tâm O tiếp xúc (trong) với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại các điểm D, E, F. BF cắt đường tròn tâm O tại I, DI cắt BC tại M.
a) Chứng minh tam giác DEF có 3 góc nhọn.
b) DF//BC.
c) Tứ giác BDFC nội tiếp.
d) BD/CB = BM/CF.

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Nguyễn Thị Phượng

    Lời giải:

    Tứ giác nội tiếp

    a) Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với \(AB.BC,CA\) tại $D,E,F$, tức là $O$ là giao của ba đường phân giác tam giác $ABC$ và \(OD\perp AB, OF\perp AC, OE\perp BC\)

    Do đó: \(\widehat{ODA}+\widehat{OFA}=90^0+90^0=180^0\)

    \(\Rightarrow ODAF\) là tứ giác nội tiếp.

    Hoàn toàn tương tự: \(ODBE, OECF\) nội tiếp.

    Từ các tứ giác nội tiếp suy ra:

    \(\left\{\begin{matrix} \widehat{ODF}=\widehat{OAF}=\frac{\widehat{A}}{2}\\ \widehat{ODE}=\widehat{OBE}=\frac{\widehat{B}}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \widehat{ODF}+\widehat{ODE}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}\)

    hay \(\widehat{EDF}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}\)

    Tương tự: \(\widehat{DEF}=\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}\) và \(\widehat{EFD}=\frac{\widehat{A}+\widehat{C}}{2}\)

    Vì $ABC$ là tam giác nhọn nên các góc đều nhỏ hơn $90^0$

    \(\Rightarrow \widehat{EDF}, \widehat{DEF}, \widehat{EFD}< 90^0\)

    \(\Rightarrow \triangle DEF\) có 3 góc nhọn.

    b)

    Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

    \(\Rightarrow \widehat{ABC}=\frac{180-\widehat{BAC}}{2}=90^0-\frac{\widehat{A}}{2}\)

    Tứ giác $ODAF$ nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{ADF}=\widehat{AOF}=90^0-\widehat{OAF}=90^0-\frac{\widehat{A}}{2}\)

    Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{ADF}\), hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DF\parallel BC\)

    c)

    \(\left\{\begin{matrix} \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\\ \widehat{ABC}=\widehat{ADF}(\text{theo phần b})\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \widehat{ADF}=\widehat{ACB}=\widehat{FCB}\)

    \(\Rightarrow BDFC\) nội tiếp.

    d)

    $BD$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(\widehat{BDM}=\widehat{DFI}=\widehat{DFB}\) (cùng chắn cung DI)

    Mà do $BDFC$ nội tiếp nên \(\widehat{DFB}=\widehat{DCB}\)

    Từ đây suy ra \(\widehat{BDM}=\widehat{DCB}\)

    Xét tam giác $BDM$ và $BCD$ có:

    \(\left\{\begin{matrix} \angle \text{B Chung}\\ \widehat{BDM}=\widehat{BCD}(cmt)\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle BDM\sim \triangle BCD(g.g)\)

    \(\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{BM}{BD}(1)\)

    Do \(DF\parallel BC\Rightarrow \frac{BD}{AB}=\frac{CF}{AC}\) (theo định lý Ta -let) mà \(AB=AC\Rightarrow BD=CF(2)\)

    Từ \((1); (2)\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{BM}{CF}\) (đpcm)

      bởi Nguyễn Thị Phượng 28/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF