YOMEDIA
NONE

Chứng minh căn(OA/OP)+căn(OB/OQ)+căn(OC/OR)≥3căn2

cho tam giác ABC. gọi O là điểm bất kì trong tam giác, vẽ AO,BO,CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại P,Q,R. chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{OA}{OP}}\)+\(\sqrt{\frac{OB}{OQ}}\)+\(\sqrt{\frac{OC}{\text{OR}}}\)\(\ge\)3\(\sqrt{2}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • le minh huy

    A B C O P Q R H K

    vì các đoạn thẳng trong bài hiển nhiên phải dương nên

    áp dụng BĐT cauchy cho 3 số thực dương:

    \(\sqrt{\frac{OA}{OP}}+\sqrt{\frac{OB}{OQ}}+\sqrt{\frac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}}}\)(1)

    xét tích \(\frac{OA}{OP}.\frac{OB}{OQ}.\frac{OC}{OR}=\left(\frac{AP}{OP}-1\right)\left(\frac{BQ}{OQ}-1\right)\left(\frac{CR}{OR}-1\right)\)(2)

    áp dụng hệ quả định lý tales:OK//AH(cùng vuông góc với BC)

    \(\rightarrow\frac{AP}{OP}=\frac{AH}{OK}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}\)(2 tam giác chung cạnh đáy)

    làm tương tự :\(\frac{BQ}{OQ}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}}\);\(\frac{CR}{OR}=\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}\)

    thế vào (2): \(\left(\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}-1\right)\left(\frac{S_{ABC}}{S_{AOC}}-1\right)\left(\frac{S_{ABC}}{S_{AOB}}-1\right)=\frac{\left(S_{AOB}+S_{AOC}\right)\left(S_{AOB}+S_{BOC}\right)\left(S_{AOC}+S_{BOC}\right)}{S_{AOB}.S_{BOC}.S_{AOC}}\)

    để biểu thực gọn hơn ta đặt \(\left\{\begin{matrix}S_{AOB}=x\\S_{AOC}=y\\S_{BOC}=z\end{matrix}\right.\),biểu thức trở thành

    \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)

    áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương:\(\left\{\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)(3)

    từ (1),(2) và (3):\(\sqrt{\frac{OA}{OP}}+\sqrt{\frac{OB}{OQ}}+\sqrt{\frac{OC}{OR}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{8}}=3\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}\right)^3}=3\sqrt{2}\)

    dấu = xảy ra khi:\(\left\{\begin{matrix}\frac{OA}{OP}=\frac{OB}{OQ}=\frac{OC}{OR}\\S_{AOB}=S_{BOC}=S_{COA}\end{matrix}\right.\)chứng tỏ O là trọng tâm của tam giác ABC

      bởi le minh huy 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF