YOMEDIA
NONE

Chứng minh các tứ giác CIMH và MPIQ nội tiếp

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90 độ), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy 1 điểm M tùy ý(M \(\ne\) B; C). Gọi các điểm I;H;K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH.

a) Chứng minh các tứ giác CIMH và MPIQ nội tiếp

b) CMR: PQ là tiếp tuyến chung cua hai đường tròn ngoại tiếp tam giác MPK và tam giác MQH.

c) Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác MPK và tam giác MQH. CMR: đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định.

@Akai Haruma

@Ace Legona

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Dương Hoàng Thiện

    Lời giải:

    Violympic toán 9

    a)

    Vì $I,H,K$ là hình chiếu của $M$ lên $BC,CA,AB$ nên

    \(MI\perp BC, MH\perp AC, MK\perp AB\)

    \(\Rightarrow \angle MKB=\angle MIB=\angle MIC=\angle MHC=90^0\)

    Tứ giác $CIMH$ có hai góc đối đỉnh \(\angle MIC+\angle MHC=180^0\) nên là tứ giác nội tiếp.

    Hoàn toàn tương tự: \(\angle MKB+\angle MIB=180^0\Rightarrow KMIB\) nội tiếp

    Do đó:

    \(\left\{\begin{matrix} \angle KIM=\angle KBM\\ \angle MIH=\angle HCM\end{matrix}\right.\Rightarrow \angle PIQ=\angle KIM+\angle MIH=\angle KBM+\angle HCM\)

    \(=\frac{1}{2}\angle BOM+\frac{1}{2}\angle MOC\) (do $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$)

    \(=\angle BCM+\angle CBM\) (vận dụng tính chất góc trên đường tròn chắn 1 cung thì bằng một nửa góc ở tâm chắn cung đó)

    \(=180^0-\angle BMC=180^0-\angle PMQ\)

    \(\Leftrightarrow \angle PIQ+\angle PMQ=180^0\)

    Do đó $MPIQ$ là tứ giác nội tiếp.

    b)

    Kết hợp kết quả \(MICH, MIBK, MPIQ\) nội tiếp ta có:

    \(\angle MPQ=\angle MIH=\angle MCH=\frac{1}{2}\angle MOC=\angle MBC=\angle MKI\)

    \(=\angle MKP\)

    Do đó \(PQ\) là tiếp tuyến tam giác $MKP$

    Hoàn toàn tương tự, $PQ$ là tiếp tuyến $MQH$

    Ta có đpcm.

    c)

    Kéo dài $MN$ cắt $BC$ tại $T$ và cắt $PQ$ tại $X$

    Theo phần b, ta đã cm được $PQ$ là tiếp tuyến của $(MKP)$ và $(MQH)$ , hay \(PX\) là tiếp tuyến của $(MKP)$ và $QX$ là tiếp tuyến của $(MQH)$

    Theo tính chất tiếp tuyến:

    \(\left\{\begin{matrix} PX^2=XM.XN\\ QX^2=XM.XN\end{matrix}\right.\Rightarrow PX^2=QX^2\Leftrightarrow PX=QX\)

    Theo phần b, ta thấy \(\angle MPQ=\angle MBC\Rightarrow PQ\parallel BC\) (hai góc đồng vị)

    Do đó áp dụng định lý Thales cho tam giác $MBT$ và $MCT$ ta có:

    \(\frac{PX}{BT}=\frac{MX}{MT}=\frac{QX}{TC}\)

    Mà $PX=QX$ (cmt) nên \(BT=TC\) hay $T$ là trung điểm của $BC$

    Vậy $MN$ đi qua điểm cố định là trung điểm của $BC$

      bởi Dương Hoàng Thiện 28/12/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF