YOMEDIA
NONE

Cho giá trị \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + xz = 3xyz.\) Tính giá trị nhỏ nhất của : \(A = \dfrac{{{x^2}}}{{z\left( {{z^2} + {x^2}} \right)}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} + \dfrac{{{z^2}}}{{y\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}\)

Cho giá trị \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + xz = 3xyz.\) Tính giá trị nhỏ nhất của : \(A = \dfrac{{{x^2}}}{{z\left( {{z^2} + {x^2}} \right)}} + \dfrac{{{y^2}}}{{x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} + \dfrac{{{z^2}}}{{y\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}\) 

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Quynh Anh

    Ta có: \(xy + yz + zx = 3xyz\)

    Chia cả hai vế cho \(xyz \ne 0\) ta được: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 3\).

    Đặt \(a = \dfrac{1}{x},b = \dfrac{1}{y},c = \dfrac{1}{z}\left( {a,b,c > 0} \right)\) thì \(a + b + c = 3\).

    Khi đó \(\dfrac{{{x^2}}}{{z\left( {{z^2} + {x^2}} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)}^2}}}{{\dfrac{1}{c}.\left( {\dfrac{1}{{{c^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right)}} = \dfrac{{{c^3}}}{{{a^2} + {c^2}}}\) \( = \dfrac{{{c^3} + c{a^2} - c{a^2}}}{{{c^2} + {a^2}}} = c - \dfrac{{c{a^2}}}{{{c^2} + {a^2}}}\)

    \(\dfrac{{{y^2}}}{{x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{b}} \right)}^2}}}{{\dfrac{1}{a}\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} \right)}} = \dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}}\) \( = \dfrac{{{a^3} + a{b^2} - a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = a - \dfrac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\)

    \(\dfrac{{{z^2}}}{{y\left( {{y^2} + {z^2}} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{1}{c}} \right)}^2}}}{{\dfrac{1}{b}\left( {\dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} \right)}} = \dfrac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}}\)\( = \dfrac{{{b^3} + b{c^2} - b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} = b - \dfrac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\)

     

    \( \Rightarrow A = c - \dfrac{{c{a^2}}}{{{c^2} + {a^2}}} + a - \dfrac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + b - \dfrac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}\)

    \( = \left( {a + b + c} \right) - \left( {\dfrac{{c{a^2}}}{{{c^2} + {a^2}}} + \dfrac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} \right)\)

    \( = 3 - \left( {\dfrac{{c{a^2}}}{{{c^2} + {a^2}}} + \dfrac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} \right)\)

    Mà \({c^2} + {a^2} \ge 2ca \Rightarrow \dfrac{{c{a^2}}}{{{c^2} + {a^2}}} \le \dfrac{{c{a^2}}}{{2ca}} = \dfrac{a}{2}\)

    Tương tự \(\dfrac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \le \dfrac{b}{2}\) và \(\dfrac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} \le \dfrac{c}{2}\)

    \( \Rightarrow \dfrac{{c{a^2}}}{{{c^2} + {a^2}}} + \dfrac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} \le \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{2} = \dfrac{3}{2}\)

    \( \Rightarrow 3 - \left( {\dfrac{{c{a^2}}}{{{c^2} + {a^2}}} + \dfrac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{b{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}} \right) \ge 3 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}\).

    Vậy \(A \ge \dfrac{3}{2}\) nên \(\min A = \dfrac{3}{2}\).

    Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1\).

      bởi Quynh Anh 10/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON