Chứng minh ID = IE = IF biết các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I

Giải:

Xét \(\Delta DIB\) có: \(\widehat{B_2}+\widehat{I_1}=90^o\) ( do \(\widehat{BDI}=90^o\) )

Xét \(\Delta FIB\) có: \(\widehat{B_1}+\widehat{I_2}=90^o\) ( do \(\widehat{IFB}=90^o\) )

Mà \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{B}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) (*)

Xét \(\Delta DIB,\Delta FIB\) có:
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{B}\right)\)

\(BI\): cạnh chung

\(\widehat{I_1}=\widehat{I_2}\) ( theo (*) )

\(\Rightarrow\Delta DIB=\Delta FIB\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow ID=IF\) ( cạnh tương ứng ) (1)

Xét \(\Delta EIC\) có: \(\widehat{I_3}+\widehat{C_2}=90^o\) ( do \(\widehat{IEC}=90^o\) )

Xét \(\Delta FIC\) có: \(\widehat{I_4}+\widehat{C_1}=90^o\) ( do \(\widehat{IFC}=90^o\) )

Mà \(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{C}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{I_3}=\widehat{I_4}\) (**)

Xét \(\Delta EIC,\Delta FIC\) có:
\(\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\left(=\frac{1}{2}\widehat{C}\right)\)

\(IC\): cạnh chung

\(\widehat{I_3}=\widehat{I_4}\) ( theo (**) )

\(\Rightarrow\Delta EIC=\Delta FIC\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow IE=IF\) ( cạnh tương ứng )

Từ (1) và (2) suy ra \(ID=IF=IE\left(đpcm\right)\)

Vậy ID = IF = IE