Chứng minh AM vuông góc BC biết tam giác ABC có AB=AC và M là trung điểm BC

Hình vẽ:

Giải:

a) Xét tam giác AMB và tam giác AMC, có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(MB=MC\) (M là trung điểm BC)

AM là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta AMC\left(c.c.c\right)\)(đpcm)

\(\Leftrightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (Hai góc tương ứng)

b) Ta có: \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\)

Mà \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0\) (Hai góc kề bù)

\(\Leftrightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

\(\Leftrightarrow AM\perp BC\left(đpcm\right)\)

c) Xét tam giác AHM và tam giác AKM, có:

\(AH=AK\left(gt\right)\)

\(\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\) (\(\Delta AMB=\Delta AMC\))

AM là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta AHM=\Delta AKM\left(c.g.c\right)\)(đpcm)

\(\Leftrightarrow\widehat{AMH}=\widehat{AMK}\) (Hai cạnh tương ứng)

\(\Leftrightarrow\) MA là tia phân giác của \(\widehat{HMK}\) (đpcm)

d) Ta có: \(AB=AC\left(gt\right)\)

Lại có: \(AH=AK\left(gt\right)\)

Lấy vễ trừ theo vế, ta được:

\(AB-AH=AC-AK\)

\(\Leftrightarrow BH=CK\)

Xét tam giác BHM và tam giác CKM, có:

\(BH=CK\) (Chứng minh trên)

\(HM=HK\left(\Delta AHM=\Delta AKM\right)\)

\(MB=MC\) (M là trung điểm BC)

\(\Rightarrow\Delta BHM=\Delta CKM\left(c.c.c\right)\) (đpcm)