Chứng minh AC=1/2BC biết tam giác ABC vuông ở A có góc B=30 độ

Kẻ từ A một tia cắt BC tại trung điểm O và AO = OD

=> BO = OC

Xét \(\Delta\)BOA và \(\Delta\)COD có:

BO = CO (ở trên)

\(\widehat{BOA}\) = \(\widehat{COD}\) (đối đỉnh)

OA = OD (ở trên)

=> \(\Delta\)BOA = \(\Delta\)COD (c.g.c)

=> AB = CD (2 cạnh t/ư)

và \(\widehat{ABO}\) = \(\widehat{DCO}\) (2 góc t/ư)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD

=> \(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{ACD}\) = 180^o (trong cùng phía)

=> 90^o + \(\widehat{ACD}\) = 180^o

=> \(\widehat{ACD}\) = 180^o

Do đó \(\Delta\)ACD vuông tại C

Xét \(\Delta\)ABC vuông tại A và \(\Delta\)CDA vuông tại C có:

AB = CD (c/m trên)

AC chung

=> \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)CDA (cgv - cgv)

=> BC = DA (2 cạnh t/ư)

mà OC = \(\frac{1}{2}\) BC (O là tđ)

OA = \(\frac{1}{2}\) AD (O là tđ)

=> OC = OA

=> \(\Delta\)OAC cân tại O (1)

Áp dụng tc tgv ta có:

\(\widehat{B}\) + \(\widehat{BCA}\) = 90^o

=> 30^o + \(\widehat{BCA}\) = 90^o

^=> \(\widehat{BCA}\) = 60^o

hay \(\widehat{OCA}\) = 60^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta\)OCA đều

=> AC = OC

mà OC = \(\frac{1}{2}\) BC => AC = \(\frac{1}{2}\) BC .