Chứng minh AB > 2/3AN biết tam giác ABC có BC = 2AB

a) Xét tam giác NAB và tam giác NEM có:
NA = NE ﴾gt﴿
ANB = ENM ﴾đối đỉnh)
BN = NM ﴾N là trung điểm của BM﴿
=> tam giác NAB = tam giác NEM ﴾c.g.c﴿

b) Ta có: M là trung điểm BC ﴾gt﴿
=> BM = MC = 1/2 BC ﴾1﴿
Lại có: BC = 2AB ﴾gt﴿
=> AB = 1/2 BC ﴾2﴿
Từ ﴾1﴿ và ﴾2﴿ => BM=MC=AB hay BM = AB
=> tam giác ABM cân tại B.

c) Ta có: tam giác ANB = tam giác ENM ﴾c/m câu a﴿
=> góc ABN = góc EMN ﴾hai góc tương ứng﴿
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
=> AB // ME
Gọi giao điểm của EM và AC là I
=> IE // AB ﴾I thuộc AC do cách dựng﴿
=> MI // AB
Xét tam giác ABC có: IM // AB ﴾cmt﴿
=> \(\dfrac{MC}{BM}=\dfrac{CI}{IA}\)
Mà MC = BM ﴾gt﴿ => CI = CA
=> EI là trung tuyến của tam giác AEC
Mà CN cũng là trung tuyến tam giác AEC ﴾AN = NE ﴿
CN giao EI tại M => M là trọng tâm tam giác AEC.

d) Ta có M là trọng tâm tam giác AEC ﴾cmt﴿ =>
MA = MC ﴾tính chất trọng tâm tam giác﴿
=> MA = AB = MB
=> Tam giác ABM đều
=> góc BAM = 60^o
Ta có : AN là trung tuyến tam giác ABN ﴾N là trung điểm NB﴿
=> AN cũng là đường cao và là đường phân giác
=> ANB = 90^o và góc BAN = \(\dfrac{1}{2}\) . 60= 30^o
Xét tam giác ABN có: góc A < B < N => BN < AN < AB ﴾quan hệ giữa cạnh và góc đối diện﴿ Hay AB > AN
=> AB > 2/3 AN.