YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} + \sqrt{\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}}\)

Help me!

Cho ba số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} + \sqrt{\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Cam Ngan

    \(P = \sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} + \sqrt{\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}}\)

    Bất đẳng thức phụ: Với 6 số dương bất kì x1, x2, x3, y1, y2, y3, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số, ta có:

    \(\left [ \left ( \frac{x_1}{\sqrt{y_1}} \right )^2 + \left ( \frac{x_2}{\sqrt{y_2}} \right )^2 + \left ( \frac{x_3}{\sqrt{y_3}} \right )^2 \right ] \left [ (\sqrt{y_1})^2 + \sqrt{y_2})^2 + \sqrt{y_3})^2\right ] \geq \left ( \frac{x_1}{\sqrt{y_1}}.\sqrt{y_1} + \frac{x_2}{\sqrt{y_2}}.\sqrt{y_2} + \frac{x_3}{\sqrt{y_3}}.\sqrt{y_3}\right )\)

    \(\Leftrightarrow \frac{x_{1}^{2}}{y_1} + \frac{x_{2}^{2}}{y_2} + \frac{x_{3}^{2}}{y_3} \geq \frac{(x_1 + x_2 + x_3)^2}{y_1 + y_2 + y_3}\ (^*)\)

    Trở lại bài toán: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số dương, ta có:

    \(\sqrt{\frac{a}{b+c}} = \sqrt{\frac{2a^2}{2a(b+c)}} \geq \sqrt{\frac{4.2a^2}{(2a+b+c)^2}} = 2\sqrt{2}.\frac{a}{2a+b+c} = 2\sqrt{2}.\frac{a^2}{2a^2+ab+ac}\)

    Ta có hai bất đẳng thức tương tự, kết hợp áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:

    \(\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{c+a}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq 2\sqrt{2}\left ( \frac{a^2}{2a^2+ab+bc} + \frac{b^2}{2b^2+bc+ba} + \frac{c^2}{2c^2+ca+cb} \right )\)

    \(\geq 2\sqrt{2}.\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)} = \frac{\sqrt{2}.\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} +2 \right )}{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} + 1}\)

    Đặt \(t = \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ (t\geq 1)\), ta có \(P \geq \frac{\sqrt{2}(t+2)}{t+1}+\sqrt{2t}\)

    Xét hàm số \(f(f) = \frac{\sqrt{2}(t+2)}{t+1}+\sqrt{2t}\) trên \([1; + \infty )\)

    \(f'(t) = - \frac{\sqrt{2}}{(t+1)^2} + \frac{1}{\sqrt{2t}} = \frac{t^2+t+(\sqrt{t}-1)^2}{(t+1)^2\sqrt{2t}} > 0,\ \forall t \in [1; + \infty )\)

    Hàm số \(f(t)\) đồng biến và liên tục trên \([1; + \infty )\), do đó: \(f(t) \geq f(1) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \Rightarrow P \geq \frac{5\sqrt{2}}{2}\)

    Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.

    Vậy GTNN của P là \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).

      bởi Cam Ngan 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF