YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị lớn nhất của: \(P=(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\)

Cho a, b, c ≥ 1 là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của:
\(P=(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Không mất tổng quát có thể giả sử \(a\geq b\geq c\). Suy ra \(6 = a +b + c \geq c+c+c\) . Suy ra \(c\geq 2;a+b\geq 4\)
    Ta chứng minh bất đẳng thức \((a^2+2)(b^2+2)\leq (\left ( \frac{a+b}{2} \right )^2+2)^2\)
    Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với
    \(a^2+b^2+2a^2+2b^2\leq \frac{(a+b)^4}{16}+(a+b)^2\Leftrightarrow 16(a-b)^2\leq (a+b)^4-16a^2b^2\)
    \(\Leftrightarrow 16(a-b)^2\leq (a^2-b^2)^2+4ab(a-b)^2\)
    \(\Leftrightarrow 16(a-b)^2\leq (a-b)^2\left [ (a+b)^2+4ab \right ]\)
    Bất đẳng thức cuối cùng đúng bởi vì \((a+b)^2\geq 4^2=16\)
    Đặt \(x=\frac{a+b}{2}\) ta có:
    \((a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\leq (x^2+2)^2(c^2+2)=(x^2+2)^2((6-2x)^2+2)\)
    Vì \(c\geq 1\) nên ta có \(2x+c=6\Rightarrow x\leq \frac{5}{2}\)
    Hơn nữa \(2x=a+b\geq 4\) nên ta có \(x\in \left [ 2;\frac{5}{4} \right ]\)
    Ta cần tìm giá trị lớn nhất của
    \(\small f(x)=(x^2+2)^2\left [ (6-2x)^2+2 \right ]=4x^6-24x^5+54x^4-96x^3+168x^2-96x+152\) trên \(\small \left [ 2;\frac{5}{2} \right ]\)
    \(\small f'(x)=12(x^2+2)(x-2)(x^2-3x+1)\) và \(\small f'(x)< 0,\forall x\in (2;\frac{5}{2})\)
    Nhưng f(2) = 216 nên f(x) đạt GTLN bằng 216, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
    Vậy ta có \(\small (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\leq 216\),  hay P đạt GTLN bằng 216, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a =b = c = 2.

      bởi Tay Thu 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON