Giải hệ phương trình: \(\left \{\begin{matrix} x^{2}-2x-2(x^{2}-x)\sqrt{3-2y}=(2y-3)x^{2}-1\

ĐK: \(x\neq -\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\leq y\leq \frac{3}{2}\)

\(PT\Leftrightarrow x^{2}-2x+1-2(x-1)x\sqrt{3-2y}+x^{2}(3-2y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)^{2}-2(x-1)x\sqrt{3-2y}+x^{2}(3-2y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1-x\sqrt{3-2y})^{2}=0\Leftrightarrow x\sqrt{3-2y}=x-1\; (3)\)

Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình suy ra \(x\neq 0\)

Suy ra \((3)\Leftrightarrow \sqrt{3-2y}=\frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}\)

Thay vào PT (2) ta được:

\(\sqrt{1+\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt[3]{2x^{2}+x^{3}}+x+2}{2x+1}\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{1+\frac{1}{x}}=x+2\sqrt[3]{2x^{2}+x^{3}}\)

\(\Leftrightarrow (2+\frac{1}{x})\sqrt{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{2}{x}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{1+\frac{1}{x}})^{3}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{2}{x}+\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}\; \; (4)\)

Xét hàm số \(f(t)=t^{3}+t\) với \(t\in R\)

Ta có \(f'(t)=3t^{2}+1>0,\forall t\in R\Rightarrow\) Hàm số f(t) đồng biến trên R

Do đó, \((4)\Leftrightarrow f(\sqrt{1+\frac{1}{x}})=f(\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}})\Leftrightarrow \sqrt{1+\frac{1}{x}}=\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}}\)

Đặt \(a=\frac{1}{x}(a\neq 0)\Rightarrow (5)\) trở thành:

\(\sqrt{1+a}=\sqrt[2]{1+2a}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+2a\geq 0\\ (1+a)^{3}=(1+2a)^{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq -\frac{1}{2}\\ a^{3}-a^{2}-a=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq -\frac{1}{2}\\ a^{2}-a-1=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\geq -\frac{1}{2}\\ \bigg \lbrack\begin{matrix} a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ a=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix} \end{matrix}\right.\)

- Với \(a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow (3)\Leftrightarrow \sqrt{3-2y}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\; (l)\)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm