Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2)

\(\left\{\begin{matrix} 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y-2)\\ (x^2+y^2)^2+2014y^2+2015=x^2+4030y \end{matrix}\right.\)  (2)

Từ PT (2), ta có \((x^2+y^2)^2-(x^2+y^2)=-2015(y-1)^2\leq 0\Leftrightarrow 0\leq x^2+y^2\leq 1\)
Do đó \(|x| \leq 1; |y| \leq 1\)

+ Nếu \(\sqrt{x^2+1}-1=0\Leftrightarrow x=0\) thay vào HPT, ta được:

\(\left\{\begin{matrix} -y^3+3y-2=0\\ y^4+2014y^2+2015=4030y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -(y-1)^2(y+2)=0\\ y^4+2014y^2+2015=4030y \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow y=1(do\ \left | y \right |\leq 1)\)

Như vậy (x;y) = (0;1) là một nghiệm của HPT đã cho.
+ Nếu \(\sqrt{x^2+1}-1\neq 0\Leftrightarrow x\neq 0\)  nhân hai vế của PT (1) với \(\sqrt{x^2+1}-1\), ta được
\((1)\Leftrightarrow 4x^2(\sqrt{x^2+1}-1)=x^2(x^2-y^3+3y-2)\)
\(\Leftrightarrow 4(\sqrt{x^2+1}-1)=x^2-y^3+3y-2\)
\(\Leftrightarrow x^2+1-4\sqrt{x^2+1}+3=y^3-3y+2\)
\(\Leftrightarrow 4(\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+1-3})=(y+3)(y-1)^2\)
Với \(x\neq 0;\left | x \right |\leq 1;\left | y \right |\leq 1\), ta có \(\sqrt{x^2+1}-1> 0;\sqrt{x^2+1}-3;(y+2)(y-1)^2\)

Nên \((\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+1}-3)< 0\leq (y+2)(y-1)^2\)  , từ đó PT (3) vô nghiệm
Đối chiếu với điều kiện ta thấy (x;y)=(0;1) là nghiệm của HPT đã cho.