Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|\) với \(m\) là tham số thực.

Chọn B

Đặt \(g\left( x \right)=\frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4}\), \(x\in \left[ -1;1 \right]\).

Nếu \(g\left( x \right)=0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) thì \(\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=0\), không thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\).

Do đó để có \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) <1\) thì điều kiện cần là phương trình \(g\left( x \right)=0\) không có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;1 \right]\).

Trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\): \(g\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4}=0\)\( \Leftrightarrow mx-2\sqrt{x+4}=0\)\( \Leftrightarrow m=\frac{2\sqrt{x+4}}{x}\).

Đặt \(h\left( x \right)=\frac{2\sqrt{x+4}}{x}\) với \(x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Ta có \({h}'\left( x \right)=\frac{-x-8}{{{x}^{2}}\sqrt{x+4}}<0\), \(\forall x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\) với \(x\in \left[ -1;1 \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Do đó để không có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) thì ta phải có \(m\in \left( -2\sqrt{3};2\sqrt{5} \right)\).

Ta có \({g}'\left( 0 \right)=\frac{2m+3}{8}=0\)\( \Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\).

Vậy nếu \(m\) nguyên thì \(x=0\) không phải là điểm cực trị của \(g\left( x \right)\), do đó \(f\left( x \right)\) không thể đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=0\).’

Mà \(f\left( 0 \right)=1\).

Do đó với \(m\) nguyên, \(m\in \left( -2\sqrt{3};2\sqrt{5} \right)\) thì \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\).

Vậy \(m\in \left\{ -3;-1;...;3;4 \right\}\).