Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):(x+2)^{2}+y^{2}+(z+5)^{2}=24\) cắt mặt phẳng

Chọn B

Mặt cầu có tâm \(I\left( -2;0;-5 \right)\), bán kính \(R=2\sqrt{6}\). \(d\left( I,\left( \alpha  \right) \right)=\frac{\left| -2+4 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\)lên\(\left( \alpha  \right)\Rightarrow H\left( -3;-1;-5 \right)\).

Gọi \({{H}_{1}}\) là hình chiếu của \(A\)lên\(\left( \alpha  \right)\Rightarrow {{H}_{1}}\left( 6;-10;1 \right)\).\(\overrightarrow{H{{H}_{1}}}=\left( 9;-9;6 \right)\)

Gọi \(r\)là bán kính đường tròn \((C)\)thì \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{22}\).

Đặt \(AM\)ngắn nhất khi \({{H}_{1}}M\)ngắn nhất khi \({{H}_{1}},M,H\)thẳng hàng và \(M\) nằm giữa \({{H}_{1}}H\).

Phương trình đường

\({{H}_{1}}H:\left\{ \begin{align} & x=-3+3t \\ & y=-1-3t \\ & z=-5+2t \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow M\left( -3+3t;-1-3t;-5+2t \right)\).

\({{\left( -1+3t \right)}^{2}}+{{\left( -1-3t \right)}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=24\)\( \Leftrightarrow {{t}^{2}}-1=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1 \\ & t=-1 \\ \end{align} \right.\).

\(\begin{align} & t=1\Rightarrow M\left( 0;-4;-3 \right)\\&\Rightarrow \overrightarrow{M{{H}_{1}}}=\left( 6;-6;4 \right)\Rightarrow M{{H}_{1}}=2\sqrt{22} \\ & t=-1\Rightarrow M\left( -6;2;7 \right)\\&\Rightarrow \overrightarrow{M{{H}_{1}}}=\left( 12;-12;7 \right)\Rightarrow M{{H}_{1}}=\sqrt{337} \\ \end{align}\)

Do \(2\sqrt{22} < \sqrt{337} \)\( \Rightarrow M\left( 0;-4;-3 \right)\)\( \Rightarrow y=-4\).