Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)?

Chọn C

Ta có \(\left( {{z}^{2}}-2z+7 \right)\left( z-2{{\overline{z}}^{2}} \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{z}^{2}}-2z+7=0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & z-2{{\overline{z}}^{2}}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

Ta thấy \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(z=1\pm \sqrt{6}i\).

Xét phương trình \(\left( 2 \right)\). Giả sử số phức \(z=a+bi\,\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\,\,\,\Rightarrow \,\bar{z}=a-bi\)

Theo đề bài \(\Leftrightarrow a+bi-2{{\left( a-bi \right)}^{2}}=0\)

\(\Leftrightarrow a-2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+\left( b+4ab \right)i=0\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a-2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=0\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ & b+4ab=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right) \\ \end{align} \right.\)

Xét phương trình \(\left( 4 \right)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & b=0 \\ & a=-\frac{1}{4} \\ \end{align} \right.\)

+ Khi \(b=0\) thế vào \(\left( 3 \right)\) ta được \(a-2{{a}^{2}}=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \\ & a=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{align} & z=0 \\ & z=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\).

+ Khi \(a=-\frac{1}{4}\) thế vào \(\left( 3 \right)\) ta được \(2{{b}^{2}}-\frac{3}{8}=0\)\( \Leftrightarrow b=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}\)\(\Rightarrow z=-\frac{1}{4}\pm \frac{\sqrt{3}}{4}i\).

Vậy có 6 số phức thỏa mãn.