Xét hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}} \right|=1,\left| {{z}_{2}} \right|=2\) và \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}.\) Giá trị lớn nhất của \(\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|\) bằng

Gọi A,B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\)

Vì \(\left| {{z}_{1}} \right|=1\) nên tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O bán kính \({{R}_{1}}=1\Rightarrow OM=1.\)

Vì \(\left| {{z}_{2}} \right|=2\) nên tập hợp các điểm N là đường tròn tâm O bán kính \({{R}_{2}}=2\Rightarrow ON=2.\)

Vì \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}\) nên \(MN=\sqrt{3}.\)

Đặt \({{z}_{3}}=3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) là gọi P là điểm biểu diễn số phức \({{z}_{3}},\) khi đó ta có \(\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OM'}+\overrightarrow{ON}.\)

\(\Rightarrow OM'PN\) là hình bình hàng.

Khi đó \(O{{P}^{2}}=OM{{'}^{2}}+O{{N}^{2}}+2OM'.ON.\cos \angle M'ON.\)

Lại có \(\Delta OMN\) vuông tại M (định lý Pytago đảo) \(\Rightarrow c\text{os}\angle \text{MON =}\frac{OM}{ON}=\frac{1}{2}.\)

\(\Rightarrow O{{P}^{2}}=OM{{'}^{2}}+O{{N}^{2}}+2OM'.ON.c\text{os}\angle \text{M }\!\!'\!\!\text{ ON}\)

\(={{3}^{2}}+{{2}^{2}}+2.3.2.\frac{1}{2}=19\)

\(\Rightarrow OP=\sqrt{19}\)

Gọi \(Q\left( 0;-5 \right)\) là điểm biểu diễn số phức 5i, khi đó ta có \(\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|=PQ.\)

Do đó \({{\left| 3{{z}_{1}}+{{z}_{2}}-5i \right|}_{max}}=P{{Q}_{_{max}}}.\)

Áp dụng BĐT tam giác có \(PQ\le OP+OQ=\sqrt{19}+5.\)

\(\Rightarrow P{{Q}_{max}}=5+\sqrt{19}.\) Dấu ''='' xảy ả khi P,O,Q thẳng hàng.