Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0.$ Gọi ${{S}_{1}}$ và \({{S}_{2}}$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}

Câu hỏi:
Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=0.$ Gọi ${{S}_{1}}$ và \({{S}_{2}}$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên. Tỉ số $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ bằng
- A. $\frac{3}{4}.$
- B. $\frac{5}{8}.$
- C. $\frac{3}{8}.$
- D. $\frac{5}{3}.$
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D
Chọn ${{x}_{1}}=1\Rightarrow {{x}_{2}}=3,$ khi đó ta chọn $f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)={{x}^{2}}-4x+3$

$\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x+c.$

Vì $f\left( x \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên chọn \(\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-\frac{2}{3}.$

Xét phương trình hoành độ giao điểm $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-\frac{2}{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2-\sqrt{3} \\ & x=2+\sqrt{3} \\ & x=2 \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x-\frac{2}{3} \right)}dx=\frac{5}{12}.$

Với $x=1\Rightarrow f\left( 1 \right)=\frac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{HCN}}=\frac{2}{3}.1=\frac{2}{3}.$

$\Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{HCN}}-{{S}_{1}}=\frac{2}{3}-\frac{5}{12}=\frac{1}{4}.$

Vậy $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\frac{23}{12}:\frac{1}{4}=\frac{5}{3}.$

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ATNETWORK