Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt cấc trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức T=1/OA^2+1/OB^2+1/OC^2 có giá trị nhỏ nhất

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\)

Do đó phương trình mp (P) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Vì \(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right)\) nên \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\)

Vì tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc và gọi H là trực tâm\(\Delta ABC\): \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Do đó \(\frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)  nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \frac{1}{{O{H^2}}}\) nhỏ nhất hay \(O{H^2}\) lớn nhất.

\(OH = d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {O;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow OH = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} \Rightarrow O{H^2} = \frac{1}{{\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}}\)

Theo Bunhiacopski ta có: \(1 = {\left( {1.\frac{1}{a} + 2.\frac{1}{b} + 3.\frac{1}{c}} \right)^2} \le \left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{1}{a}}} = \frac{2}{{\frac{1}{b}}} = \frac{3}{{\frac{1}{c}}} \Leftrightarrow a = 2b = 3c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 14}\\{b = 7}\\{c = \frac{{14}}{3}}\end{array}} \right.\)

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{z}{{\frac{{14}}{3}}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\)