Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và giao tuyến của hai mặt phẳng (P):x+y-z-2=0 và (Q):x+3y-12=0.

VTPT của (P) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\), VTPT của (Q) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;3;0} \right)\). Gọi \({d'} = \left( P \right) \cap \left( Q \right).\) 

Gọi d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Khi đó VTCP của d’ là \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {3; - 1;2} \right)\) cũng là VTCP của d nên d song song d’.

Ta có: \(A\left( {1; - 2; - 1} \right) \in d,\,\,B\left( {0;4;2} \right) \in {\rm{d'}} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;6;3} \right)\)

VTPT của (R) là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {15;11; - 17} \right).\)

Phương trình mặt phẳng (R) là: \(15\left( {x - 0} \right) + 11\left( {y - 4} \right) - 17\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 15{\rm{x}} + 11y - 17{\rm{z}} - 10 = 0.\)