Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ({d_1}:frac{{x - 2}}{1} = frac{{y - 1}}{{ - 1}} = frac{z}{2}) và

Các VTCP của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là: \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;0;1} \right)\). Ta có \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow {d_1},{d_2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau.

Giải hệ phương trình của \({d_1}\) và \({d_2}\) \( \Rightarrow \) vô nghiệm \( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

Khi đó (P) nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {u{_2}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)\) làm VTPT \( \Rightarrow \left( P \right):x + 3y + z + m = 0\)

\(A\left( {2;1;0} \right) \in {d_1};B\left( {2;3;0} \right) \in {d_2} \Rightarrow d\left( {A;\left( P \right)} \right) = d\left( {B;\left( P \right)} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + 3.1 + 0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {2 + 3.3 + 0 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow m =  - 8 \Rightarrow \left( P \right):x + 3y + z - 8 = 0\)