Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho tam giác ABC vuông tại \(A,BC=4a,\widehat{ABC}={{60}^{0}}.\) Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và cùng vuông góc với \(\left( ABC \right)\). Trên Bx lấy điểm \({{B}_{1}}\) sao cho mặt cầu đường kính \(B{{B}_{1}}\) tiếp xúc với Cy. Trên tia Cy lấy điểm \({{C}_{1}}\) sao cho mặt cầu đường kính \(A{{C}_{1}}\) tiếp xúc với \({{B}_{x}}\). Thể tích khối đa diện \(ABC{{C}_{1}}{{B}_{1}}\) bằng.

* Ta có: Gọi E là trung điểm của \(B{{B}_{1}}\) thì E là tâm mặt cầu đường kính \(B{{B}_{1}}\) bán kính \(r=d\left( E;C{{C}_{1}} \right)=BC=4a.\) Khi đó: ta có \(B{{B}_{1}}=8a;AB=2a;AC=2a\sqrt{3}.\)

Gọi I, F lần lượt là trung điểm của \(A{{C}_{1}}\) và AC suy ra \(IF//C{{C}_{1}}//B{{B}_{1}};IF\bot \left( ABC \right)\)

Kẻ \(IG\bot B{{B}_{1}}\) tại G

Ta có: \(IG=BF=\frac{A{{C}_{1}}}{2}=R\) là bán kính của mặt cầu có đường kính \(A{{C}_{1}}\)

Đặt \(C{{C}_{1}}=x\left( x>0 \right)\).

Ta có: \(R=\frac{A{{C}_{1}}}{2}=\frac{\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{12{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}\)

\(R=BF=\sqrt{B{{A}^{2}}+F{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{12{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{2}=a\sqrt{7}\Leftrightarrow x=4a\)

* Kẻ \(AH\bot BC\) tại H

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & AH\bot BC \\ & AH\bot B{{B}_{1}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow AH\bot \left( B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C \right)\) hay AH là đường cao của hình chóp \(A.B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C\)

* Diện tích tứ giác \(B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C\) là \(S=\frac{1}{2}BC.\left( B{{B}_{1}}+C{{C}_{1}} \right)=\frac{1}{2}.4a\left( 8a+4a \right)=24{{a}^{2}}\)

* Chiều cao của hình chóp \(d\left( A,\left( B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C \right) \right)=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{2a.2a\sqrt{3}}{4a}=a\sqrt{3}\)

Thể tích hình chóp \(S.B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C\) là \(V=\frac{1}{3}d\left( A,B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C \right).{{S}_{B{{B}_{1}}{{C}_{1}}C}}=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.24{{a}^{2}}=8\sqrt{3}{{a}^{3}}.\)