Chọn câu đúng. Cho phương trình ({3^{1 + frac{3}{x}}} - {3.3^{frac{2}{x} - 2sqrt x  + 1}} + left( {m + 2} ight)

Điều kiện: x > 0.

Ta có: \({{3}^{1+\frac{3}{x}}}-{{3.3}^{\frac{2}{x}-2\sqrt{x+1}}}+\left( m+2 \right){{.3}^{1+\frac{1}{x}-4\sqrt{x}}}-m{{.3}^{1-6\sqrt{x}}}=0\)

\(\Leftrightarrow {{3}^{3\left( \frac{1}{x}+2\sqrt{x} \right)}}-{{3.3}^{2\left( \frac{1}{x}+2\sqrt{x} \right)}}+\left( m+2 \right){{.3}^{\frac{1}{x}+2\sqrt{x}}}-m=0\text{ }\left( * \right)\)

Đặt \(t={{3}^{\frac{1}{x}+2\sqrt{x}}}={{3}^{\frac{1}{x}+\sqrt{x}+\sqrt{x}}}\ge {{3}^{3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\sqrt{x}.\sqrt{x}}}}={{3}^{3}}=27.\)

Phương trình có dạng: \(\Leftrightarrow {{t}^{3}}-3.{{t}^{2}}+\left( m+2 \right).t-m=0\text{ }\left( ** \right)\)

Ta tìm \(m\in \left[ -2020;2021 \right]\) để phương trình (**) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 27.

Ta có: \(\left( ** \right)\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{t}^{2}}-2t+m \right)=0\)

\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+m=0\) (Vì \(t\ge 27\))

\(\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}=1-m\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 1-m\ge 0 \\ & t=1\pm \sqrt{1-m} \\ \end{align} \right.\)

Vậy để phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 27 thì

\(\left\{ \begin{align} & 1-m\ge 0 \\ & 1+\sqrt{1-m}\ge 27 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\le 1 \\ & 1-m\ge 676 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m\le -675.\)

Vì \(m\in \left[ -2020;2021 \right]\) nên có: 2020-675+1=1346 giá trị m.