Cho tứ diện ABCD có \(\widehat{DAB}=\widehat{CBD}={{90}^{0}},AB=2a,AC=2\sqrt{5}a\) và \(\widehat{ABC}={{135}^{0}}.\) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( ABD \right)\) và \(\left( BCD \right)\) bằng \({{30}^{0}}.\) Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (ABC)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & AB\bot DH \\ & AB\bot AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot AH\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{align} & CB\bot DH \\ & CB\bot BD \\ \end{align} \right.\Rightarrow CB\bot BH\)

Tam giác ABH vuông tại \(A,AB=2a,\widehat{ABH}={{45}^{0}}\Rightarrow \Delta ABH\) vuông cân tại \(A\Rightarrow AH=AB=2a;BH=2a\sqrt{2}.\)

Áp dụng định lí cosin, \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}\)

\(B{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2.AB.BC.\cos \widehat{ABC}-A{{C}^{2}}=0\Leftrightarrow B{{C}^{2}}+2a\sqrt{2}BC-16{{a}^{2}}=0\Rightarrow BC=2\sqrt{2}a\)

\({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.BC.\sin {{135}^{0}}=\frac{1}{2}.2a.2\sqrt{2}a.\frac{\sqrt{2}}{2}=2{{a}^{2}}\)

Dựng \(\left\{ \begin{align} & HE\bot DA \\ & HF\bot DB \\ \end{align} \right.\Rightarrow HE\bot \left( DAB \right);HF\bot \left( DCB \right)\)

Suy ra \(\left( \widehat{\left( DAB \right);\left( DCB \right)} \right)=\widehat{\left( HE,HF \right)}=\widehat{EHF}.\) Tam giác EHF vuông tại F.

Đặt DH=x, khi đó \(EH=\frac{DH.AH}{\sqrt{D{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}}=\frac{2ax}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}},FH=\frac{2a\sqrt{2}x}{\sqrt{8{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}\)

\(\cos \widehat{EHF}=\frac{EH}{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{8{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}{\sqrt{2}\sqrt{4{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}}\Rightarrow 6\left( 4{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)=4\left( 8{{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\Rightarrow x=2a.\)

Vậy thể tích của khối tứ diện \(ABCD:{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.DH=\frac{1}{3}.2{{a}^{2}}.2a=\frac{4{{a}^{3}}}{3}.\)