Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=75\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\left( {{m}^{2}}+2m \right)x-\left( {{m}^{2}}+4m-1 \right)y+2\left( 3m-1 \right)z+{{m}^{2}}+1=0\). A là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì khối nón có đỉnh là A, đường tròn đáy là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có thể tích bằng bao nhiêu?

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 3;-2;1 \right)\); có bán kính \(R=5\sqrt{3}\).

Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) là điểm cố định mà mặt phẳng \(\left( P \right)\) luôn đi qua. Ta có

\(\left( {{m}^{2}}+2m \right){{x}_{0}}-\left( {{m}^{2}}+4m-1 \right){{y}_{0}}+2(3m-1){{z}_{0}}+{{m}^{2}}+1=0\,\forall m\)

\(\Leftrightarrow \left( {{x}_{0}}-{{y}_{0}}+1 \right){{m}^{2}}+\left( 2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}+6{{z}_{0}} \right)m+{{y}_{0}}-2{{z}_{0}}+1=0\,\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} - {y_0} + 1 = 0}\\ {2{x_0} - 4{y_0} + 6{z_0}}\\ {{y_0} - 2{z_0} + 1 = 0} \end{array} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_0} = - 2}\\ {{y_0} = - 1 \Rightarrow M( - 2; - 1;0)}\\ {{z_0} = 0} \end{array}} \right.} \right.\)

Ta có \(IM=3\sqrt{3}<R\) nên M nằm trong mặt cầu. Do đó \(\left( P \right)\) luôn cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn.

Ta có \(d\left( A,\left( P \right) \right)\le R+d\left( I,\left( P \right) \right)\le R+IM=5\sqrt{3}+3\sqrt{3}=8\sqrt{3}\).

Trong trường hợp này đường tròn đáy là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) có bán kình \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{M}^{2}}}=4\sqrt{3}\).

Khi đó \({{V}_{N}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=128\pi \sqrt{3}\).