Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của y để phương trình \(\ln \left( {{\log }_{5}}y+\ln \left( {{\log }_{5}}y+\sin x \right) \right)=\sin x\) có nghiệm?

Đặt \({\log _5}y = m\) và u = ln(m+sinx) ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln \left( {m + \sin x} \right)\\ \ln \left( {m + u} \right) = \sin x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {e^u} = m + \sin x\\ {e^{\sin x}} = m + u \end{array} \right.\)

Từ hệ phương trình ta suy ra: \({e^u} + u = {e^{\sin x}} + \sin x\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {e^t} + t\) có \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0,\forall t \in R\) ⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên R

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( u \right) = f\left( {\sin x} \right) \Leftrightarrow u = \sin x\)

Khi đó ta được: \(\ln \left( {m + \sin x} \right) = \sin x \Leftrightarrow {e^{\sin x}} - \sin x = m\,\left( {**} \right)\)

Đặt a = sinx, \(a \in [-1;1]\) Phương trình (**) trở thành: e^a - a = m (**)

Xét hàm số g(a) = e^a - a liên tục trên [-1;1]

\(g'\left( a \right) = {e^a} - 1\).

\(g'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = 0\).

Bảng biến thiên:

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(a) = g(1) = e - 1,\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(a) = g(0) = 1\).

Hệ phương trình ban đầu có nghiệm ⇔ phương trình (**) có nghiệm ⇔ \(1 \le m \le e - 1\)

\( \Leftrightarrow 1 \le {\log _5}y \le e - 1 \Leftrightarrow 5 \le y \le {5^{e - 1}}\). Vì y nguyên nên \(5 \le y \le 15\), suy ra có 11 số nguyên y.