Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-3=0\) và các điểm \(A\left( 3;2;4 \right),B\left( 5;3;7 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) thay đổi đi qua \(A,B\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r=2\sqrt{2}\). Biết tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) luôn nằm trên một đường tròn cố định \(\left( {{C}_{1}} \right)\). Bán kính của \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;1;3 \right)\) nên phương trình đường thẳng \(AB\) là \(\left\{ \begin{align} & x=3+2t \\ & y=2+t \\ & z=4+3t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right) \)​

Gọi \(M=AB\cap \left( P \right)\) thì tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{M}}=3+2t \\ & {{y}_{M}}=2+t \\ & {{z}_{M}}=4+3t \\ & {{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}-3=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left( 3+2t \right)+\left( 2+t \right)+\left( 4+3t \right)-3=0\Leftrightarrow 6t+6=0\Leftrightarrow t=-1\to M\left( 1;1;1 \right)\)

Có \(MA=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 4-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{14}\)

Và \(MB=\sqrt{{{\left( 5-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 7-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{14}\)

Gọi \({{I}_{1}}\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) và \(M{{I}_{1}}\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại 2 điểm \(C\) và \(D\).

Ta có \(MC.MD=MA.MB=\sqrt{14}.2\sqrt{14}=28\)

\(\Leftrightarrow \left( M{{I}_{1}}+r \right)\left( M{{I}_{1}}-r \right)=28\)

\(\Leftrightarrow MI_{1}^{2}-{{r}^{2}}=28\Leftrightarrow M{{I}_{1}}=\sqrt{28+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}=6\).

Do \(M\left( 1;1;1 \right)\) nên điểm \(M\) cố định. Khi đó tâm \({{I}_{1}}\) của đường tròn \(\left( C \right)\) luôn nằm trên đường tròn cố định có tâm \(M\) bán kính \({{r}_{1}}=M{{I}_{1}}=6\).