Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm đến cấp hai trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=0;f''\left( x \right)>-\frac{1}{6},\forall x\in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-mx \right|\), với m là tham số dương, có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Từ đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) suy ra \(f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\)

Do đó, \(f'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right)\)

Xét hàm số \(h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-mx;h'\left( x \right)=2x.f'\left( {{x}^{2}} \right)-m\).

Với \(x<0,h'(x)<0\Rightarrow \) Phương trình \(h'\left( x \right)=0\) vô nghiệm.

Với \(x\ge 0\) ta có \(h''\left( x \right)=2f'\left( {{x}^{2}} \right)+4{{x}^{2}}f''\left( {{x}^{2}} \right)>2f'\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{2{{x}^{2}}}{3}\)

Từ đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) ta thấy với \(x\ge 0\), đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) luôn nằm trên đường thẳng \(y=\frac{x}{3}\).

Do đó, \(2f'\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{2{{x}^{2}}}{3}\ge 0,\forall x\ge 0\Rightarrow h''\left( x \right)\ge 0,\forall x\ge 0\) hay hàm số \(y=h'\left( x \right)\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).

Mà \(h'\left( 0 \right)=-m<0\) và \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h'\left( x \right)=+\infty \) nên phương trình \(h'\left( x \right)=0\) có một nghiệm duy nhất \({{x}_{0}}\in \left( 0;+\infty  \right)\).

Bảng biến thiên:

Khi đó phương trình \(h\left( x \right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Đồng thời hàm số \(y=h\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x={{x}_{0}}\), giá trị cực tiểu \(h\left( {{x}_{0}} \right)<0\).

Vậy hàm số \(y=\left| h\left( x \right) \right|\) có 3 điểm cực trị.